Το τελευταίο θεώρημα του Φερμά

Pierre De Fermat

To τελευταίο θεώρημα του Φερμά είναι ένα από τα πιο γνωστά θεωρήματα στην ιστορία

των μαθηματικών και αποδείχτηκε πρόσφατα από τους μαθηματικούς Άντριου Γουάιλς και

 Richard Taylor. 

Εκφράζεται ως εξής:

Είναι αδύνατον να χωρίσεις οποιαδήποτε δύναμη μεγαλύτερη της

 δεύτερης σε δύο ίδιες δυνάμεις.

Εισαγωγή

Χρησιμοποιώντας πιο επίσημη μαθηματική σημειογραφία, το τελευταίο θεώρημα του Φερμά μπορεί να διατυπωθεί ως εξής:

Αν ένας ακέραιος n είναι μεγαλύτερος του 2, τότε η xⁿ + yⁿ = zⁿ δεν έχει λύση, όπου x, y, και z θετικοί ακέραιοι.

Παρά το γεγονός ότι σχετίζεται αρκετά με το Πυθαγόρειο θεώρημα, το οποίο έχει άπειρες λύσεις και εκατοντάδες αποδείξεις, η έξυπνη αυτή παραλλαγή του Φερμά στάθηκε πολύ δυσκολότερο να αποδειχτεί. Επίσης, επειδή το συγκεκριμένο πρόβλημα γίνεται πολύ εύκολα κατανοητό από τον καθένα (ως προς τη διατύπωσή του), έχουν δημιουργηθεί κατά καιρούς οι περισσότερες λανθασμένες αποδείξεις από οποιοδήποτε άλλο πρόβλημα στην ιστορία των μαθηματικών. Όλα τα θεωρήματα που είχαν προταθεί από τον Πιέρ ντε Φερμά αποδείχτηκαν, είτε με δικές του αποδείξεις, είτε με αποδείξεις άλλων μαθηματικών, στους επόμενους δύο αιώνες που ακολούθησαν τις προτάσεις. Το τελευταίο θεώρημα του Φερμά δεν ήταν το τελευταίο που διατύπωσε, αλλά το τελευταίο που αποδείχτηκε. Υπάρχουν πολλές εξισώσεις που έχουν μορφή παρόμοια με αυτή του τελευταίου θεωρήματος του Φερμά. Ένα παράδειγμα έιναι η εξής:

Υπάρχουν άπειροι θετικοί ακέραιοι αριθμοί x, y, και z, τέτοιοι ώστε xⁿ + yⁿ = z^m, όπου n και m πρώτοι μεταξύ τους φυσικοι αριθμοί.

Ο Φερμά διατύπωσε το θεώρημα ως σημείωση στο βιβλίο Αριθμητικά του Διόφαντου δίπλα στο Πυθαγόρειο θεώρημα. Εκεί έγραψε ότι γνωρίζει μια καταπληκτική απόδειξη, αλλά δε του φτάνει ο χώρος για να την γράψει.

Απόδειξη

Andrew Wiles

Ο Andrew Wiles, που είχε γοητευτεί από το τελευταίο θεώρημα του Φερμά από τα 10 του χρόνια, έβαλε ως στόχο να το αποδείξει. Εργαζόταν με απόλυτη μυστικοπάθεια για 7 περίπου χρόνια με ελάχιστη βοήθεια από κάποια εξωτερική πηγή. Το 1993, ο Wiles ανακοίνωσε την απόδειξή του σε μία σειρά διαλέξεων που παραδόθηκαν στο ινστιτούτο για την επιστήμη των μαθηματικών "Ισαάκ Νεύτωνας" στις 21,22 και 23 Ιουνίου 1993. Κατέπληξε το ακροατήριό του με το πλήθος των ιδεών και των σχεδιασμών που χρησιμοποίησε για την απόδειξή του. Προηγουμένως, ο Wiles είχε επανεξετάσει την απόδειξη με ένα καθηγητή από το Πρίνστον, τον Nick Katz. Όμως, η απόδειξη περιείχε ένα κενό σε ένα κρίσιμο τμήμα της. Ο Wiles και ένας πρώην φοιτητής του, ο Richard Taylor, ξόδεψαν περίπου ένα χρόνο προσπαθώντας να βρουν την απόδειξη του προβλήματος, υπό αυστηρή επιτήρηση από τα μέσα και τη μαθηματική κοινότητα. Το Σεπτέμβρη του 1994, κατάφεραν να αναβιώσουν την απόδειξη με μικρές διαφορές, απορρίπτοντας τεχνικές που ο Wiles είχε χρησιμοποιήσει στις προηγούμενες προσπάθειές του.