Το π ΔΕΝ ισούται με 4!


Κυριακή πρωί και δεν έχεις τι να κάνεις...

Ξαφνικά θυμάσαι μια χαζομάρα που είχες ακούσει από ένα φίλο σου. (Ναι Βασιλάκη για σένα λέω).

Το π=4...τι άλλο θα ακούσουμε.

Γκουγκλάρεις και βλέπεις ότι δεν το σκέφτηκε αυτός, αλλά είναι μια τρολιά που κυκλοφορεί.
Θαυμάστε το...

Riemann τρέμε!



Μετά από αυτά θυμήθηκα τις στρώσεις πλακιδίων ή όπως τα έλεγε ο αείμνηστος φίλος μέγα τρολ Λάμπρος Μαγκλάρας...ναι, ναι...το Πυθαγόρειο Θεώρημα ισχύει κύριε Λάμπρο. Συγνώμη κιόλας.

Η μέθοδος του ήταν συγγενής με τη μέθοδο που χρησιμοποίειται στο παραπάνω βίντεο.

Ας δούμε και τον αντίλογο κι ας περάσουμε μια όμορφη Κυρακή καθώς το π όυτε σήμερα θα ισούται με 4!







Διαβάστε Περισσότερα »

Που θα μου χρειαστούν τα μαθηματικά στην καθημερινή ζωή?

This Teacher Found a Brilliant Answer to an Eternal Question of All Pupils
O Jeremy Κun, καθηγητής των μαθηματικών, ρωτήθηκε μια ερώτηση που πολλοί μαθητές ρωτάνε κάθε χρόνο: «Πού θα χρησιμοποιήσω ποτέ όλα αυτά τα ημίτονα, συνημίτονα, ολοκληρώματα, και το υπόλοιπα από την άλγεβρα και τη γεωμετρία" Σε αντίθεση με την πλειονότητα των συναδέλφων του, ο Kun δεν ήταν σε σύγχυση και απαρίθμησε 5 λόγους για τους οποίους τα μαθηματικά είναι σημαντικά.
1. Τα μαθηματικά μας διδάσκουν να παραδεχόμαστε όταν κάνουμε κάποιο λάθος και όχι μόνο να το παραδεχόμαστε , αλλά και να προχωράμε για να λύσουμε το πρόβλημα.
Για παράδειγμα, ο Χάρης και ο Ρήγας στέκονται μπροστά από μια εξίσωση γραμμένη στον μαυροπίνακα. Ο Χάρης είναι σίγουρος ότι η εξίσωση είναι σωστή και ο Ρήγας ξέρει στα σίγουρα ότι η εξίσωση είναι λάθος. Την επόμενη ώρα αυτές οι απόψεις αλλάζουν. Ο Χάρης πιστεύει ότι η εξίσωση είναι λάθος, ενώ ο Ρήγας τον αποκαλεί ανόητο και τον ρωτάει τι εννοεί. Ακούγεται παράξενο, αλλά οι μαθηματικοί αντιμετωπίζουν τέτοιες καταστάσεις σχεδόν κάθε μέρα.
Ρωτήστε οποιοδήποτε δάσκαλο τι πρέπει να κάνετε αν το πρόβλημα δεν μπορεί να επιλυθεί και η απάντηση θα είναι απλή: "Ξεκινήστε από την αρχή και προσπαθήστε να πάτε με έναν άλλο τρόπο. Και μην ανησυχείτε για το λάθος που κάνατε, επειδή ήταν το πράγμα που τελικά σας έδειξε το σωστό δρόμο.».
2. Η ακρίβεια είναι η ευγένεια των μαθηματικών. 
Αυτήν τη δήλωση είναι πραγματικά δύσκολο να την υποστηρίξει κανείς, επειδή κάθε μαθηματικός όρος έχει έναν ακριβή και σαφή ορισμό.
Θυμηθείτε τους δασκάλους που μας έβαζαν να μάθουμε απ'έξω κάθε ορισμό γεωμετρικών σχημάτων ή για παράδειγμα, το Πυθαγόρειο θεώρημα. Δεν είχαμε καμία ιδέα για το πού και πότε θα χρησιμοποιήσουμε αυτή τη γνώση. Αλλά για σκεφτείτε, θα μπορούσατε να ονομάσετε κάτι που δεν έχει ακριβή ορισμό; Είστε σε θέση να απαντήσετε με ένα καρδιακό παλμό, τι είναι η ευτυχία ή η αγάπη; Οι απαντήσεις σας ταιριάζουν με εκείνες των πλησιέστερων και πιο αγαπητών σας προσώπων; 
4. «Αυτό που δηλώνω τώρα είναι ψευδές"
Αυτό είναι το πως ακούγεται το διάσημο "παράδοξο του ψεύτη". Είναι η καλύτερη περιγραφή του κάθε τι που συμβαίνει στη σύγχρονη επιστήμη..
Υπάρχουν πολλά θεωρήματα, κανόνες και αξιώματα που χρησιμοποιούνταν στο παρελθόν πιστεύοντας ότι είναι σωστά, αλλά αποδείχτηκε ότι δεν είναι. Και αυτό σημαίνει, ότι δεν θα πρέπει να εμπιστευόμαστε τυφλά ακόμα και τον πιο έγκυρη γνώμη μέχρι να το ελέγξουμε μόνοι μας. Οι επιστήμονες το αποκαλούν «εύλογο σκεπτικισμό», και τα μαθηματικά το διδάσκουν αυτό πολύ καλά.
5. Γιατί αν δεν λύσετε εσείς ένα πρόβλημα, κάποιος άλλος θα το κάνει σίγουρα. 
Γιατί λοιπόν να μην γίνετε εσείς οι πρώτοι;
Διαβάστε Περισσότερα »

Ο μαθηματικός καλλιτέχνης του χιονιού!


Εκπληκτικά έργα τέχνης πάνω στο χιόνι εμπνευσμένα κυρίως από τα μαθηματικά.


Εδώ και μία δεκαετία ο Simon Beck διακοσμεί τις Άλπεις φτιάχνοντας μοναδικά σχέδια στο χιόνι εμπνευσμένα κυρίως από τα μαθηματικά.

Για κάθε ένα από αυτά τα σχέδια χρειάζεται περίπου 11 ώρες. Κάθε χειμώνα φτιάχνει περίπου 30 σχέδια στο βόρειο ημισφαίριο, κυρίως στις Άλπεις.

Το όλο εγχείρημα ξεκίνησε για πλάκα πριν δέκα χρόνια και πλέον είναι η κύρια ασχολία του. «Όταν έχεις ένα λευκό χαρτί, θέλεις να ζωγραφίσεις κάτι. Οπότε, το να σχεδιάσω στο χιόνι φαινόταν σαν κάτι φυσικό».

Ο Simon φορά παπούτσια για χιόνι και δημιουργεί το «μονοπάτι» με αυτά. Δεν μπορεί να βγει έξω από αυτό, γιατί θα χαλάσει το σχέδιο. Στη συνέχεια φωτογραφίζει τις δημιουργίες του και βγάζει χρήματα πουλώντας αντίτυπα υψηλής ανάλυσης.















Διαβάστε Περισσότερα »

Κερδίστε χρήματα και ένα tablet παίρνοντας μέρος σε αμειβόμενες έρευνες αγοράς!


Η Daedalus Online διεξάγει ηλεκτρονικές δημοσκοπήσεις για διάφορες εταιρείες στη Ρουμανία, την Ευρώπη και τις ΗΠΑ σε διάφορους τομείς, όπως η προκαταρκτική αξιολόγηση τηλεοπτικών διαφημίσεων, η παρουσίαση νέων προϊόντων και η μέτρηση της ικανοποίησης πελατών.
Δεν συμμετέχουμε σε καμία δραστηριότητα προώθησης, διαφήμισης ή άμεσου μάρκετινγκ. Όλες οι προσπάθειές μας εστιάζουν στην άντληση στατιστικών πληροφοριών σχετικά με τα θέματα των ερευνών μας. Η Daedalus Online είναι εταιρεία διαχείρισης προσωπικών δεδομένων, καταχωρισμένη με αριθ. μητρώου 12502.
Γίνετε μέλος της κοινότητας Daedalus Online για να μπορείτε να συμπληρώνετε ηλεκτρονικές έρευνες και να εκφράζετε τη γνώμη σας. Για κάθε έρευνα που συμπληρώνετε θα λαμβάνετε πόντους τους οποίους θα μπορείτε να μετατρέπετε σε κουπόνια.
Επιπλέον, αν γίνετε μέλος της κοινότητας Daedalus Online μέχρι τις 16/12/2016, έχετε την ευκαιρία να κερδίσετε ένα tablet.
Γραφτείτε στη Daedalus Online ΔΩΡΕΑΝ μεένα ΚΛΙΚ ΕΔΩ
Διαβάστε Περισσότερα »

Η μαγεία των υπολογιστικών μαθηματικών.

Πάντα όταν μπαίνω σε ένα καινούριο τμήμα κάνω την ίδια ερώτηση. "Ποιοι από εσάς δε γουστάρετε τα Μαθηματικά?" Σχεδόν πάντα εμφανίζονται κάποιοι μαθητές που θα σηκώσουν χέρι. Ο λόγοι είναι προφανείς:
  • Κάποιος τους τρόμαξε και τους έκανε τη ζωή δύσκολη, οπότε τα αντιπάθησαν.
  • Κάποιοι μαθητές δεν έχουν το λεγόμενο "μαθηματικό μυαλό" - το οποίο θα αναπτύξω άλλη φορά- , οπότε δεν τα κατάφερναν καλά και τα αντιπάθησαν.
  • Κανείς δεν τους έδειξε τη μαγεία των Μαθηματικών, την ομορφιά τους!
Ειδικότερα σε μικρές ηλικίες θεωρώ ότι μπορείς να κάνεις τα παιδιά να τα ερωτευτούν. Πριν τα βάλεις σε καλούπια, τα παιδιά μπορούν να σε εκπλήξουν με τον τρόπο σκέψης τους.



Το γιατί οι εκπαιδευτικοί δεν τα καταφέρνουν είναι άλλο θέμα συζήτησης, το οποίο ίσως αναλύσω άλλη φορά. Δυστυχώς, οι πιο πολλοί δάσκαλοι δε συμπαθούν ιδιαίτερα τα Μαθηματικά, καθώς προέρχονται επί το πλείστον από θεωρητικές κατευθύνσεις κι αυτή την όχι μεγάλη συμπάθεια την περνάνε και στα παιδιά. Πως είναι δυνατόν να εμπνεύσεις κάποιον, να αγαπήσει κάτι που εσύ ο ίδιος δεν αγαπάς?

Ένα χαρακτηριστικό παράδειγμα πως μπορείς να κάνεις τα Μαθηματικά παιχνίδι για τα παιδιά είναι η "Τέχνη και όχι η Τεχνική των Υπολογισμών". Να τίτλος για βιβλίο, λες να γίνω συγγραφέας? 

Οι υπολογισμοί αν τους δεις σαν "Τεχνική" είναι ένα βαρετό πράγμα...τότε κυριαρχεί η άποψη που έλεγε ένας φίλος ενός συναδέλφου μου, γιατρός, ότι "τα Μαθηματικά είναι κομπιουτεράκι". Το παραπάνω το είπε γιατρός, δηλαδή θεωρητικά μορφωμένος άνθρωπος. Άντε μετά να πείσεις τα παιδιά στο που θα μου χρειαστούν τα Μαθηματικά, όταν ακούνε τέτοιες βλακείες. 

Αντίθετα, οι υπολογισμοί είναι "Τέχνη", τόσο σε απλά Μαθηματικά, όσο και σε πιο σύνθετα, καθώς μπορείς να δεις σκέψεις και μεθόδους που ούτε καν φανταζόσουν.

Στο βιντεάκι της διάλεξης της καθηγήτριας από τα Online μαθήματα του Stanford (έλα μωρέ ποιο Stanford, σαν τα ΙΕΚ Ξυνή δεν έχει) μπορείτε να δείτε δυο πολύ ωραία παραδείγματα.

Αρχικά, ζητάει από φοιτητές να υπολογίσουν το γινόμενο 18x5 χωρίς να χρησιμοποιήσουν το πατροπαράδοτο χαρτί και μολύβι ή κάποιο αλγόριθμο και να εξηγήσουν τον τρόπο που δούλεψαν.



Διάφορες μεθόδους μπορείτε να δείτε παρακάτω.


  • Άλλος σκέφτηκε να σπάσει το 18 σε δυο 9άρια. Άρα 18x5=9x5+9x5=45+45=90.
  • Άλλος έφτιαξε ζευγάρια 5αριών, άρα αντί να έχει 18x5 είχε 18x5=9x10=90.
  • Άλλος σκέφτηκε 18x5=5x10+5x8=50+40=90.
  • Άλλος έκανε 18x5=5x20-5x2=100-10=90.


By the way, μήπως εσείς σκεφτήκατε κάτι άλλο?

Αλλά τώρα τι να λέμε όταν το facebook έχει κατακλειστεί από posts μόνο το 2% μπορεί να υπολογίσει την τιμή της παράστασης 1x1+11+1+1+1x0+.... Έλεος.

Ορφέα, σε θυμήθηκα...btw κάνατε like στη σελίδα μου στο facebook? Αν όχι, ντροπή σας, κάντε τώρα με ένα κλικ ΕΔΩ.

Έπειτα κάνει το ίδιο με το γινόμενο 12x15.



Ας δούμε τις απαντήσεις.



  • 'Άλλος έσπασε το 12 σε 10 και 2 και είχε 12x15=15x10+15x2=150+30=180.
  • Άλλος διπλασίασε το 15 σε 30 για να κάνει πιο εύκολα πράξη και διαίρεσε με το 2. Οκ, έκανε κύκλο αλλά βρήκε πως 12x15=(12x30)/2=360/2=180.
  • Άλλος διέσπασε το 15 σε 10 και 5, οπότε 12x15=12x10+12x5=120+60=180.
  • Κάποιος άλλος σκέφτηκε να σπάσει το 12 σε 6x2, άρα 12x15=6x(2x15)=6x30=180.
  • Αλήθεια με τα τέλεια τετράγωνα πως τα πάτε? Ο φίλος εδώ μια χαρά είδε πως 12x15=12x12+3x12=144+36=180.
  • Κάποιος διέσπασε το 12 σε 3x4 12x15=3x(4x15)=3x60=180.
  • Ένας άλλος διέσπασε το 15 σε 3x5 άρα είχε 12x15=(12x5)x3=60x3=180.
Πόσο πιο ωραίο και ενδιαφέρoν θα ήταν να δείξεις τέτοιες μεθόδους και τρόπους σε ένα μικρό παιδί, αντί να του μαθαίνεις προπαίδεια με φασόλια, ξυλάκια, τουβλάκια και ποιος ξέρει τι άλλο?



Πως, όμως μπορείς να αλλάξεις μυαλά, όταν ακόμα ζουν ανάμεσα μας εκπαιδευτικοί που λένε πως "μόνο ο δικός μου τρόπος είναι σωστός?". Σιγά ρε Gauss από τα Τρίκαλα, χαλάρωσε (τυχαίο παράδειγμα πόλης).




Επειδή τα Μαθηματικά είναι μαγεία, είναι ομορφιά, είναι Τέχνη...όποιος δε μπορεί ή δε θέλει ή δεν γουστάρει να κάνει τον κόσμο να τα αγαπήσει, μπορεί εύκολα να αλλάξει επάγγελμα. Αυτό, θα ήταν μια καλή ιδέα, όχι μόνο για τους Μαθηματικούς, αλλά για όλους τους εκπαιδευτικούς που δε γουστάρουν τη δουλειά τους.


Το βιντεάκι-πηγή έμπνευσης μπορείτε να το δείτε στα Αγγλικά παρακάτω


Υ.γ. Δεν ξέρω αν βοήθησα την επιστημονική προσέγγιση μιας παιδαγωγού και μάλιστα Ειδικής Αγωγής που μου έστειλε το βιντεάκι, αλλά έκανα το καλύτερο μου. Αυτά...






Διαβάστε Περισσότερα »

Πως είναι οι δάσκαλοι και οι καθηγητές στη Φινλανδία και πως στις Η.Π.Α.


'Ένα πολύ ωραίο βιντεάκι που μπορεί να μας προβληματίσει όλους.
Εκπαιδευτικούς, μαθητές και γονείς!
Όσο για την Ελλάδα...για συνδυασμό Η.Π.Α. και Ουγκάντα μας κόβω.

Διαβάστε Περισσότερα »

Το παραμύθι της Ιατρικής


Το παραμύθι της Ιατρικής
(ή γιατί πρέπει οι υποψήφιοι Ιατρικής να δίνουν 5ο μάθημα τα Μαθηματικά Κατεύθυνσης)
Ως γνωστόν, η πιο δημοφιλής σχολή του 3ου Επιστημονικού Πεδίου είναι η Ιατρική.
Φέτος είχε βάση 18.648 το χαμηλότερο τμήμα, στην Αλεξανδρούπολη.
Οι περισσότεροι μαθητές πιστεύουν οτι τα μόρια αυτά γράφονται με την κατάλληλη προετοιμασία.
Αλλά πόσο εύκολο είναι κανείς να περιέχεται στους 638 καλύτερους υποψήφιους πανελλαδικά;
Ας δούμε μερικά σενάρια για το πως γράφονται (και δεν γράφονται) αυτά τα μόρια.
Πανελλαδικές 2016,
Ας θυμηθούμε τα νέα δεδομένα:
4 τα μαθήματα ανά πεδίο,
συν 1 οποιος θέλει να ανοίξει άλλο πεδίο.
Δεν μετρά ο βαθμός του σχολείου, ουτε με προσαρμογές.
Χρησιμοποίησα την αξιόπιστη εφαρμογή του Σχ. Συμβούλου Μαθηματικών Σπαθάρα για τον υπολογισμό των μορίων: http://www.pe03.gr/soft/moria-2016/moria-2016.htm
3ο πεδίο, συνεπώς
από μαθήματα κατεύθυνσεων: ΒΙΟΛΟΓΙΑ, ΦΥΣΙΚΗ, ΧΗΜΕΙΑ
και από γενικής παιδείας: ΕΚΘΕΣΗ
ΣΕΝΑΡΙΟ 1ο
Ας υποθέσουμε οτι ένας μαθητης, με τα φετινά θέματα έγραφε:
ΒΙΟΛΟΓΙΑ 19
ΦΥΣΙΚΗ 19
ΧΗΜΕΙΑ 19
κι ΕΚΘΕΣΗ 15
στα μάτια μου, αυτός είναι πολυ καλός μαθητής,
είναι ένας μαθητής που γνωρίζει πολύ καλά 3 μαθήματα και μπορει να χάνει απο αιτιολογήσεις λίγα μόρια
θεωρείται άριστος αφού γραφει σταθερά 19
και στην Έκθεση, το παλέυει,
ένα 15 είναι ικανοποιητικός βαθμός
Πόσα μόρια έβγαλε; 18200
Ιατρική δεν έπιανε αφού η βάση ήταν 18648
Μα ο μαθητής δεν διάβασε;
Διάβασε αλλά δεν ήταν τόσο καλός όσο χρειαζόταν..
ΣΕΝΑΡΙΟ 2ο, χωρίς σχόλια
ΒΙΟΛΟΓΙΑ 19
ΦΥΣΙΚΗ 19
ΧΗΜΕΙΑ 19
κι ΕΚΘΕΣΗ 16
ΣΥΝΟΛΟ ΜΟΡΙΩΝ: 18400
ΒΑΣΗ ΙΑΤΡΙΚΗΣ: 18648 , άρα δεν πέρναγε
ΣΕΝΑΡΙΟ 3ο, χωρίς σχόλια
ΒΙΟΛΟΓΙΑ 19
ΦΥΣΙΚΗ 19
ΧΗΜΕΙΑ 19
κι ΕΚΘΕΣΗ 17
ΣΥΝΟΛΟ ΜΟΡΙΩΝ: 18600
ΒΑΣΗ ΙΑΤΡΙΚΗΣ: 18648 , άρα δεν πέρναγε
ΣΕΝΑΡΙΟ 4ο, χωρίς σχόλια
ΒΙΟΛΟΓΙΑ 19,5
ΦΥΣΙΚΗ 19,5
ΧΗΜΕΙΑ 19,5
κι ΕΚΘΕΣΗ 15
ΣΥΝΟΛΟ ΜΟΡΙΩΝ: 18600
ΒΑΣΗ ΙΑΤΡΙΚΗΣ: 18648 , άρα δεν πέρναγε
Με τέτοιους βαθμούς, δεν μπορείς να αποκαλείς έναν μαθητή αποτυχημένο, επειδή δεν έπιασε Ιατρική.
Συμπέρασμα
Η Ιατρική όσο και να διαβάσει κανείς όταν τα μαθήματα είναι 4, κανείς δεν μπορεί να του εγγυηθεί οτι θα γράψει τα απαιτούμενα μόρια. Δεν είναι θέμα διαβάσματος του μαθητή, η εισαγωγή σε μια τέτοια σχολή γιατί οι εξετάσεις είναι τελειώς ανταγωνιστικές.Τόσες θέσεις διαθέσιμες για τόσους υποψήφιους. Στις σχολές υψηλής ζήτησης ειδικά οι βαθμολογίες είναι πολύ υψηλές και άπιαστες για την πλειοψηφία των υποψηφίων.
Αν τωρα ο μαθητής είχε δώσει και ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗΣ, αφενός θα άνοιγε άλλο πεδίο, αφετέρου θα είχε άλλες υψηλόβαθμες σχολές Πολυτεχνείου να πιάσει. Δεν υποτιμώ τις σχολές του 3ου πεδίου πλήν της Ιατρικής (και οι Οδοντιατρικές φετος 18570 είχαν βάση, και οι ΦΑΡΜΑΚΕΥΤΙΚΕΣ 18351), αλλά με λιγότερα μόρια θα χτυπούσε πολυ καλές σχολές του Πολυτεχνείου φέτος, όποιος υποψήφιος είχε δώσει και Μαθηματικά Κατεύθυνσης.
Εσείς οι καθηγητές, γονείς, συμμαθητές, υποψήφιοι, ενημερώστε οποιονδήποτε υποψήφιο βρείτε για Ιατρική και πείτε το εξής απλό παράδειγμα:
Οτι αν φέτος έγραφε στα 3 μαθηματα κατευθυνσης 19,5 (ΒΙΟΛΟΓΙΑ, ΦΥΣΙΚΗ και ΧΗΜΕΙΑ) και 15 στην ΕΚΘΕΣΗ δεν περναγε ΙΑΤΡΙΚΗ.
Και ρωτήστε τους αν πιστευουν οτι μπορούν να γράψουν του χρόνου, αντίστοιχους βαθμούς.
Αν τους φάινεται πολύ δύσκολο, να γράψουν κάτι καλύτερο από αυτό, τότε να τους προτείνετε σαν 5ο μάθημα, τα ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ, για να ανοίξουν το πεδίο των Πολυτεχνείων.
Μπορεί να τους πάρει παραπάνω χρόνο στο διάβασμα, αλλά τουλάχιστον δεν θα κυνηγάνε τόσο υψηλούς βαθμούς σε όλα τα μαθήματα.
Κάποιος μπορει να ισχυριστεί οτι αυτά τα λέω, ως μαθηματικός (συντεχνιακά), για να προσελκύσω κόσμο στο μάθημά μου Πανελλαδικά.
Ο λόγος που τα λέω είναι ένα πρόσφατο περιστατικό από το σχολείο μου:
Πέρασε τις μέρες αυτές μια μαθήτρια στο σχολείο που είμαι, απόφοιτη πλέον. Πέρσι έδινε στοχεύοντας σε ΙΑΤΡΙΚΗ.
Διάβασε 4 μαθήματα, όσο καλύτερα μπορούσε και είχε τις ατυχίες της σε 1 μάθημα κατεύθυνσης στις εξετάσεις γράφοντας λιγότερο από 19.
Δεν έγραψε 19.5 19.5 19.5 και 15 για να περάσει ΙΑΤΡΙΚΗ.
Και έλεγε πως θα ξαναδώσει δίνοντας και 5ο μάθημα.
Την ρώτησα γιατι να δίνει 5 και να διαβάζει παραπάνω, όταν μπορεί να δίνει 4 και να αποδίδει καλύτερα;
Και απάντησε η μαθητρια αποστομωτικά:
<<Γιατί δεν διάβασα; >>
Τότε συνειδητοποίησα οτι όσο και να διαβάσει κανείς, μια αιτιολόγηση να χάσει σε μάθημα κατεύθυνσης, την έχασε την ΙΑΤΡΙΚΗ.
Και μου είπε πως θα δώσει 5ο μάθημα, τα ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗΣ έτσι ώστε, ό,τι και να γίνει να περάσει σε μια καλή σχολή.
Αν τώρα κάποιος της ειχε πει πέρσι, οτι με 19.5 σε ΒΙΟΛΟΓΙΑ, ΦΥΣΙΚΗ, ΧΗΜΕΙΑ και 15 στην ΕΚΘΕΣΗ, δεν θα πέρναγε (λογικά) ΙΑΤΡΙΚΗ, πιθανότατα να είχε παρει εξαρχής και 5ο μάθημα, τα ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗΣ και τώρα θα ήταν φοιτήτρια σε μια καλή σχολή.
Αναφέρετε τα παραπάνω αριθμητικά παραδέιγματα και ας αποφασίσουν οι υποψήφιοι μόνοι τους
Χρήσιμες παραπομπές:
-> Εφαρμογή Υπολογισμού Μορίων: http://www.pe03.gr/soft/moria-2016/moria-2016.htm
-> Βάσεις 2016: https://www.alfavita.gr/
Χρονόπουλος Τάκης, μαθηματικός
Διαβάστε Περισσότερα »

Πως να κόψετε μια πίτσα σε ίσα μέρη

pws-na-kopsete-teleia-mia-pitsa-ti-leei-i-epistimi

Υπάρχει πιο απογοητευτικό θέαμα από ένα κακό κομμάτιασμα πίτσας, μια δαγκωνιά με δυσανάλογη ποσότητα μανιταριών κι ένα κομμάτι με πολλή κρούστα ή ελάχιστο πεπερόνι; Τα παραπάνω, μας κάνουν πολλές φορές να μαλώνουμε με αυτόν/ή που τρώμε παρέα μια πίτσα, επειδή νομίζουμε ότι «κλέβει».

Ωστόσο, αυτή η απογοήτευση που προκαλείται από το άνισο κομμάτιασμα μιας πίτσας ίσως, σύντομα, να αποτελεί παρελθόν. Δύο μαθηματικοί έχουν καταλήξει σε μια νέα μέθοδο κοπής της πίτσας, που λένε ότι μπορεί να οδηγήσει σε απεριόριστες ίσες φέτες.

Όπως αναφέρει το New Scientist, οι Joel Haddley και Stephen Worsley από το Πανεπιστήμιο του Λίβερπουλ, έχουν αναπτύξει ένα σύστημα κοπής πίτσας σε 12 πανομοιότυπες φέτες, γνωστό ως «monohedral disk tilling». Ωστόσο, αποδεικνύεται ότι στην πραγματικότητα δεν υπάρχει όριο στον αριθμό των ίσων κομματιών που μπορεί να κοπεί μια πίτσα.

Έχουν όλα να κάνουν με τη γεωμετρία. Γενικεύοντας την τεχνική τους, οι Haddley και Worsley έκοψαν την πίτσα σε καμπυλωτά κομμάτια με μονό αριθμό πλευρών/κομμάτι - τρία, πέντε, επτά. Και κάθε ένα από αυτά τα κομμάτια μπορεί να «σπάσει» σε δύο, με τη σειρά του, άπειρες φορές.


Το διάγραμμα των Joel Haddley και Stephen Worsley για τον τεμαχισμό πίτσας.

Ο Haddley σημείωσε ότι «δεν υπάρχει, απολύτως, κάποιο όριο» σε ό,τι αφορά τον αριθμό των φετών πίτσας που μπορούν να δημιουργηθούν με τη χρήση αυτής της μεθόδου. Μπορεί να είναι δύσκολο, όμως, να προχωρήσουμε πιο πέρα από ένα εννιάγωνο κομμάτι.

Ο μαθηματικός, μάλιστα, προχώρησε λίγο ακόμα, δοκιμάζοντας τη θεωρία του σε μια πραγματική πίτσα.

Παρά την ανακάλυψή του, όμως, ο Haddley δεν φαίνεται αισιόδοξος για τις χρήσεις της θεωρίας του πέραν της πίτσας αυτής καθαυτής. «Δεν έχω ιδέα αν υπάρχει εφαρμογή της θεωρίας μας σε άλλα πράγματα, πέραν της κοπής της πίτσας», είπε.


Διαβάστε Περισσότερα »

Τα άλυτα προβλήματα των μαθηματικών!

Grigory-Perelman

Τον τελευταίο καιρό είδαμε να λύνονται δύο δύσκολα μαθηματικά προβλήματα άλυτα για δεκάδες χρόνια. Το ένα είναι η Εικασία του Poincare που θεωρείται πλέον επαληθευμένη από τον Ρώσο Grigori Perelman. Το άλλο είναι η απεικόνιση μιας τεράστιας και πολύπλοκης μαθηματικής δομής, που έχει 248 διαστάσεις και αποκαλείται Ε8, από μια διεθνή ομάδα μαθηματικών. Και τα δύο είχαν μείνει αναπάντητα εδώ και έναν αιώνα περίπου. Η εικασία του Poincare είναι το ένα από τα προβλήματα, την λύση των οποίων θα βραβεύσει το ινστιτούτο Clay με το ποσόν του ενός εκατομμυρίου δολαρίων.
Απομένουν όμως κι άλλα  προβλήματα, μερικά από τα οποία είναι άλυτα εδώ και πάνω από 100 χρόνια. Το κοινό τους σημείο δεν είναι μόνο ο μεγάλος βαθμός δυσκολίας, αλλά και το γεγονός ότι η προσπάθεια λύσης τους μας έχει οδηγήσει σε τελείως διαφορετικούς δρόμους από αυτούς που υποψιάστηκαν αρχικά οι μαθηματικοί. Η απόδειξη τους μπορεί με μια πρώτη ματιά να φαίνεται εφικτή, αλλά η πραγματικότητα είναι διαφορετική, ο δρόμος που αρχικά ακολουθήσαμε δεν μας οδήγησε προς τη λύση. Για παράδειγμα η υπόθεση του Riemann, που έχει να κάνει με την κατανομή των πρώτων αριθμών (δηλαδή, αριθμών που διαιρούνται μόνο με το 1 και με τον εαυτό τους, όπως για παράδειγμα το 3, το 5, το 7 κλπ). 
1. Υπόθεση του Riemann: Υπάρχει συστηματικότητα στην κατανομή των πρώτων αριθμών – παραμένει άλυτη 148 χρόνια 
Η ακολουθία των πρώτων αριθμών αρχίζει με τους 2,3, 5, 7 και 11. Όσο προχωράει κανείς στην ακολουθία, η συχνότητα τους μειώνεται, αλλά η κατανομή τους δεν παύει να παρουσιάζει μια συστηματοποίηση, που είναι γνωστή εδώ και αιώνες. Υπάρχουν, ωστόσο, μικρές παρεκκλίσεις, και το 1859 ο Bemhard Riemann υπέθεσε ότι θα μπορούσε να τις περιγράψει επακριβώς, αν κατάφερνε να αποδείξει την ύπαρξη μιας ξεχωριστής ιδιότητας για τις τιμές που μηδενίζουν μια συγκεκριμένη συνάρτηση. Πιο συγκεκριμένα, μια μιγαδική συνάρτηση που λέγεται ζήτα συνάρτηση του Riemann ζ(s), ορίζεται για όλους τους μιγαδικούς αριθμούς που είναι διάφοροι του 1. Η συνάρτηση αυτή μηδενίζεται για όλους τους άρτιους αρνητικούς αριθμούς. Δηλαδή για s=-2, s=-4, s=-6 κλπ. Οι τιμές αυτές μηδενισμού είναι οι τετριμμένες της λύσεις. H υπόθεση του Riemann αφορά τις μη τετριμμένες λύσεις και ισχυρίζεται ότι το πραγματικό μέρος όλων των μη τετριμμένων λύσεων που μηδενίζουν την ζήτα-συνάρτηση είναι το 1/2.  Η υπόθεση έχει επαληθευτεί για τις πρώτες 1.500.000.001 λύσεις, αλλά εξακολουθεί να λείπει η τελική απόδειξη.
2. Εικασία του Hodge: Μπορούν τα σχήματα να εξηγηθούν γεωμετρικά; – παραμένει άλυτη 70 χρόνια
Στον 20ο αιώνα οι μαθηματικοί ανακάλυψαν κάποιους δυναμικούς τρόπους για να ερευνήσουν τα σχήματα που είχαν κάποια πολύπλοκα αντικείμενα. Στην τεχνολογία π.χ. τρισδιάστατων γραφικών χρησιμοποιούνται απλά γεωμετρικά δομικά στοιχεία (κύκλοι, τρίγωνα και τετράγωνα) για να δημιουργηθούν πολύπλοκες γραφικές παραστάσεις – όπως, π.χ., η Lara Kraft στο Tomb Raider.
Η βασική ιδέα που είχε τη δεκαετία του 1930 (πολύ πριν εμφανιστούν τα ηλεκτρονικά παιγνίδια), ο Σκωτσέζος μαθηματικός William Hodge είναι ήταν να αναρωτηθεί μέχρι ποιο σημείο μπορούμε να προσεγγίσουμε το σχήμα ενός δεδομένου αντικειμένου, συγκολλώντας απλούς γεωμετρικούς δομικά στοιχεία με όλο και μεγαλύτερο μέγεθος. Το ερώτημα μάλιστα αυτό τέθηκε όχι μόνο για τον 3-διάστατο κόσμο αλλά και για περισσότερες διαστάσεις.
Η τεχνική αυτή της συγκόλλησης αποδείχτηκε μεγάλης χρησιμότητας, ώστε να γενικευτεί κατά πολλούς τρόπους και να μας δώσει προοδευτικά ισχυρά εργαλεία με τα οποία οι μαθηματικοί πέτυχαν την ταξινόμηση των διαφόρων σχημάτων που συναντούσαν κατά τις έρευνές τους.
Ατυχώς, οι γεωμετρικές καταβολές αυτής της διαδικασίας έγιναν τελείως δυσδιάκριτες καθώς εξελισσόταν η γενίκευση αυτή. Κατά κάποια έννοια, χρειαζόταν να προσθέσουμε κομμάτια που δεν είχαν καμιά γεωμετρική σημασία.
Η εικασία του Hodge ισχυρίζεται ότι για μερικούς ιδιαίτερης μαθηματικής κομψότητας χώρους, που λέγονται προβολικές αλγεβρικές κλάσεις, τα κομμάτια που χρειάζονται να συγκολληθούν και αποκαλούνται κύκλοι Hodge είναι  ρητοί γραμμικοί συνδυασμοί κομματιών που έχουν γεωμετρική σημασία και λέγονται αλγεβρικοί κύκλοι. 
3. P versus NP: Υπάρχει μια ιδανική διάταξη συνδαιτυμόνων; – παραμένει άλυτη 30 χρόνια
Υποθέστε ότι πρέπει να κάνετε μια λίστα για το πώς θα καθίσουν οι καλεσμένοι σε ένα μεγάλο εορταστικό δείπνο. Έχετε 400 άτομα στον κατάλογο σας, αλλά πρέπει να επιλέξετε μόνο 100 από αυτούς, καθώς δεν υπάρχει χώρος για περισσότερους. Επίσης, έχετε άλλη μια λίστα από ζεύγη αυτών των ανθρώπων, κι έτσι κανένα από αυτά τα ζευγάρια δεν πρέπει να εμφανιστεί στον τελικό κατάλογο των καλεσμένων που θα καθίσουν στο τραπέζι.
Το πρόβλημα αυτό είναι ένα παράδειγμα από αυτά που η πληροφορική αποκαλεί ΝΡ προβλήματα. Είναι εύκολο να ελέγξουμε αν μια συγκεκριμένη λίστα 100 ατόμων από τους 400 ικανοποιεί το κριτήριό μας να μην υπάρχουν ασύμβατα μεταξύ τους ζευγάρια στο τραπέζι. Το να δημιουργήσουμε όμως εμείς μια τέτοια λίστα από τους 400 είναι τόσο δύσκολο που μοιάζει να μην  είναι πρακτικά δυνατόν. Μάλιστα, ο αριθμός των εναλλακτικών τρόπων που μπορούμε να πάρουμε 100 καλεσμένους από τους 400 είναι μεγαλύτερος από το σύνολο των ατόμων που υπάρχουν στο σύμπαν, γι’ αυτό και το πρόβλημα δε θα μπορούσε να λυθεί ούτε καν με τη βοήθεια του ισχυρότερου υπερυπολογιστή στον κόσμο.
Μπορεί όμως η δυσκολία αυτή να δείχνει απλά ότι προσεγγίζουμε προγραμματιστικά το πρόβλημα με λάθος μέθοδο. Υπάρχει άραγε ένας έξυπνος τρόπος να λυθεί το πρόβλημα; Το πρόβλημα αυτού του τύπου, «Ρ versus ΝΡ» -όπως λέγεται- εμφανίστηκε τη δεκαετία του 1970.  Οι Stephen Cook και Leonid Levin διατύπωσαν αυτό το πρόβλημα όπου το Ρ σημαίνει εύκολο να βρεθεί λύση και το ΝΡ σημαίνει εύκολο να ελεγχθεί, ανεξάρτητα ο ένας από τον άλλο κατά το 1971. Γενικά, έχει να κάνει με το αν όντως υπάρχουν προβλήματα τα οποία είναι εύκολο να ελεγχθούν αλλά πρακτικά αδύνατο να λυθούν με άμεσες αλγοριθμικές διαδικασίες.
Για προβλήματα όπως το παραπάνω, κανείς μέχρι σήμερα δεν έχει καταφέρει να δείξει ότι η λύση τους δεν είναι εφικτή με κατάλληλη προγραμματιστική μέθοδο.
Το πρόβλημα «Ρ versus NP» είναι θεμελιώδες για την ασφάλεια των υπολογιστών. Κι αυτό γιατί, όταν κρυπτογραφούνται ψηφιακά οι χρηματικές συναλλαγές, χρησιμοποιούνται αλγόριθμοι των οποίων η λύση ελέγχεται εύκολα αλλά δύσκολα βρίσκεται – μεταξύ άλλων, με κλειδιά κρυπτογράφησης που περιέχουν πρώτους αριθμούς. Αν αποδειχθεί ότι ένας ικανός προγραμματιστής μπορεί να βρει ένα σύντομο δρόμο για τη λύση τους, τότε το «σπάσιμο» της κρυπτογράφησης των πληρωμών με πιστωτικές κάρτες ίσως καταστεί εφικτό.
4. Εικασία των Birch και Swinnerton-Dyer: Πόσες ακέραιες λύσεις έχει π.χ. η εξίσωση ψ2=x2-x+1; Παραμένει άλυτη 40 χρόνια
Οι μαθηματικοί γοητεύονταν πάντα από την εύρεση όλων των λύσεων στο πεδίο των ακεραίων αριθμών, εξισώσεων όπως η παρακάτω  x2 + ψ2 = z2,   όπου οι x, ψ και z είναι ακέραιοι αριθμοί. Μια λύση είναι η 32 + 42=52. Εδώ και πάνω από 2.000 χρόνια, ο Ευκλείδης Βρήκε ένα γενικό τύπο που δίνει όλες τις πιθανές λύσεις (είναι άπειρες), αλλά σε πιο περίπλοκες εξισώσεις η εύρεση όλων των λύσεων είναι πράγμα εξαιρετικά δύσκολο. Στα 1970 ο Yu. V. Matiyasevich έδειξε ότι το 10ο πρόβλημα του Hilbert είναι αδύνατο. Δηλαδή έδειξε ότι δεν υπάρχει γενική μέθοδος που να μας δείχνει πότε οι εξισώσεις αυτές έχουν λύση στο πεδίο των ακεραίων αριθμών.
Ωστόσο, είναι σημαντικό να μπορεί κανείς να εκτιμήσει αν υπάρχει ένας πεπερασμένος ή άπειρος αριθμός λύσεων με ακέραιους αριθμούς για μια δεδομένη εξίσωση.
Ας πάρουμε για παράδειγμα τις λεγόμενες ελλειπτικές καμπύλες. Βασικά θα μπορούσαμε να πούμε ότι πρόκειται για αλγεβρικές εξισώσεις σαν την παρακάτω  y2 = x3+ ax + b, που ορίζουν επιφάνειες στο χώρο με μορφή σαμπρέλας. 
Κάθε ελλειπτική καμπύλη είναι μια αβελιανή ομάδα και τα σημεία πάνω σ’ αυτήν με συντεταγμένες ρητούς αριθμούς σχηματίζουν μια υποομάδα. Πότε υπάρχουν άπειρα τέτοια ρητά σημεία; Στα 1965 οι Birch και Swinnerton-Dyer ισχυρίστηκαν ότι υπάρχει ένα κριτήριο που περιλαμβάνει ένα μαθηματικό αντικείμενο που λέγεταιL-συνάρτηση της ελλειπτικής καμπύλης.  Η εικασία των  Birch-Swinnerton-Dyer λέει ότι L(1) = 0 αν και μόνο αν η ελλειπτική καμπύλη έχει άπειρα ρητά σημεία. Αν δηλαδή L(1) = 0 τότε υπάρχουν άπειρα ρητά σημεία επί της καμπύλης ή με άλλα λόγια άπειρες λύσεις της παραπάνω εξίσωσης. Ενώ αντίστροφα αν L(1) δεν ισούται με μηδέν τότε υπάρχει μόνο πεπερασμένος αριθμός ρητών λύσεων της εξίσωσης.
Αν μπορούσε να αποδειχτεί αυτή η εικασία θα έριχνε πολύ φως και στη λύση των Διοφαντικών εξισώσεων, μια από τις οποίες ανάγεται στον 10ο αιώνα μ.Χ. και στην οποία ζητείται να βρεθούν ποιοι ακέραιοι αριθμοί μπορούν να εμφανιστούν ως εμβαδά ορθογωνίων τριγώνων, των οποίων οι πλευρές έχουν ως μήκη ρητούς αριθμούς.
5. Το χάσμα μάζας στη θεωρία Yang-Mills: Παραμένει μαθηματικά αναπόδεικτο εδώ και 43 χρόνια
Οι νόμοι της κβαντικής φυσικής αποτελούν για τον κόσμο των στοιχειωδών σωματίων ότι οι νόμοι του Νεύτωνα για την κλασσική μηχανική του μακροσκοπικού κόσμου.Περίπου μισό αιώνα πριν, οι φυσικοί Chen Ning Yang και Robert Mills παρουσίασαν ένα νέο πλαίσιο για τη περιγραφή των στοιχειωδών σωματιδίων. Σ’ αυτό χρησιμοποίησαν δομές που συναντάμε επίσης και στην γεωμετρία.
Η θεωρία Yang-Mills, όπως είναι γνωστή, αποτελεί πλέον τη βάση σχεδόν όλου του οικοδομήματος της σύγχρονης φυσικής των στοιχειωδών σωματιδίων, σύμφωνα με το Καθιερωμένο Πρότυπο. Το Καθιερωμένο Πρότυπο περιγράφει τις τρεις από τις τέσσερις αλληλεπιδράσεις που υπάρχουν στη φύση, δηλαδή τις ηλεκτρομαγνητικές, τις ασθενείς (αυτοί οι δύο τύποι αλληλεπιδράσεων έχουν ενοποιηθεί ως ηλεκτρασθενείς αλληλεπιδράσεις) και τις ισχυρές, που περιγράφονται από την κβαντική χρωμοδυναμική. Οι προβλέψεις της έχουν ελεγχθεί σε πολλά εργαστήρια αλλά παρόλα αυτά το μαθηματικό υπόβαθρο πάνω στο οποίο βασίζεται η θεωρία Yang-Mills παραμένει ασαφές.
Πιο συγκεκριμένα, η επιτυχής χρήση της θεωρίας Yang-Mills για την περιγραφή των ισχυρών αλληλεπιδράσεων εξαρτάται από μια λεπτή κβαντομηχανική ιδιότητα που είναι γνωστό τεχνικά ως χάσμα μάζας. Αυτό σημαίνει ότι πρέπει η πιο ελαφριά κατάσταση του ενός σωματιδίου ενός κβαντικού πεδίου στις 4 διαστάσεις, να έχει αυστηρά θετική μάζα.   Η ιδιότητα αυτή δεν έχει αποδειχτεί ακόμα μέσα στα πλαίσια της αυστηρής μαθηματικής θεμελίωσης της θεωρίας.
6. Εξισώσεις Navier-Stokes: Μπορούν να περιγραφούν τα κύματα; παραμένει άλυτη εδώ και 150 χρόνια
Οι εξισώσεις Navier-Stokes είναι ένα σύνολο εξισώσεων οι οποίες περιγράφουν την κίνηση των ρευστών όπως είναι τα υγρά και τα αέρια. Οι εξισώσεις αυτές μας λένε πως οι μεταβολές στην ορμή ενός απειροστού όγκου του ρευστού είναι απλά το αθροιστικό αποτέλεσμα των δυνάμεων ιξώδους του ρευστού, των μεταβολών της πίεσης, της βαρύτητας και των άλλων δυνάμεων που δρουν εντός του ρευστού. Πρόκειται στην ουσία για εφαρμογή του 2ου νόμου του Νewton στα ρευστά. Αφορούν δηλαδή τη δυναμική της αλληλεπίδρασης της αδράνειας του ρευστού με τις διάφορες δυνάμεις που δρουν σε μια περιοχή του ρευστού. 
Είναι από τα πιο χρήσιμα σύνολα εξισώσεων γιατί εφαρμόζονται σε μοντέλα καιρού, μοντέλα ωκεάνιων ρευμάτων, ροή ρευστών σε σωλήνες, ροή αέρα γύρω από πτέρυγες αεροπλάνων και ανεμογενητριών, κίνηση άστρων μέσα στο γαλαξία κ.ο.κ.  Σε συνδυασμό εξάλλου με τις εξισώσεις Maxwell μπορούν να χρησιμοποιηθούν για να κάνουμε εξομοιώσεις και μα μελετήσουμε μοντέλα μαγνητοϋδροδυναμικής.
Οι εξισώσεις Navier-Stokes είναι διαφορικές εξισώσεις. Σε αντίθεση δηλαδή με τις αλγεβρικές εξισώσεις δεν μας δείχνουν εκπεφρασμένα μια σχέση μεταξύ των μεγεθών που μας ενδιαφέρουν (π.χ. μεταξύ ταχύτητας και πίεσης) αλλά περιγράφουν σχέσεις μεταξύ των ρυθμών μεταβολής ή μεταξύ των ροών των διαφόρων μεγεθών. Με όρους μαθηματικούς λέμε ότι οι εξισώσεις αυτές περιέχουν σχέσεις μεταξύ των παραγώγων των διαφόρων μεγεθών. Για παράδειγμα, οι εξισώσεις Navier-Stokes για την πιο απλή περίπτωση ενός ιδανικού ρευστού (χωρίς ιξώδες) μας λέει ότι η επιτάχυνση δηλ. η παράγωγος της ταχύτητας είναι ανάλογη με τη βαθμίδα (δηλ. την παράγωγο ως προς τις 3 χωρικές συντεταγμένες) της εσωτερικής πίεσης του ρευστού.
Πρακτικά αυτό σημαίνει ότι μόνο οι πιο απλές περιπτώσεις αυτών των εξισώσεων μπορούν να λυθούν μέσα στα πλαίσια του διαφορικού και ολοκληρωτικού λογισμού και να μας οδηγήσουν σε ακριβείς λύσεις. Οι περιπτώσεις αυτές γενικά περιλαμβάνουν μόνο ροή χωρίς στροβίλους σε μόνιμες καταστάσεις. Δηλαδή καταστάσεις που δεν αλλάζουν με τον χρόνο. Στις καταστάσεις αυτές είτε το ιξώδες του ρευστού είναι πολύ μεγάλο, είτε η ταχύτητα ροής πολύ μικρή.
Για πιο περίπλοκες καταστάσεις, όπως είναι τα παγκόσμια συστήματα καιρού σαν το φαινόμενο El Nino, οι λύσεις των εξισώσεων Navier-Stokes πρέπει να βρεθούν με τη βοήθεια υπολογιστών. Πράγματι, έχει αναπτυχθεί μια ποικιλία υπολογιστικών προγραμμάτων που χρησιμοποιούν αριθμητικές μεθόδους για τη λύση των εξισώσεων Navier-Stokes.  Η προσέγγιση αυτή της αντιμετώπισης του ζητήματος είναι γνωστή ως Υπολογιστική Δυναμική των Ρευστών (CFD). Αν και θεωρητικά ηCFD δουλεύει σε κάθε περίπτωση ροής, πολλές συνηθισμένες περιπτώσεις ροής όπως είναι η ροή γύρω από μια πτέρυγα αεροπλάνου, περιέχει τόσο πολλές λεπτομέρειες που κανένα πρόγραμμα υπολογιστή δεν μπορεί να λύσει το πρόβλημα σε λογικό χρονικό διάστημα.
Το έπαθλο του ενός εκατομμυρίου δολαρίων του ινστιτούτου Clay, θα δοθεί σε όποιον κάνει μια σοβαρή πρόοδο προς μια μαθηματική θεωρία που θα βοηθήσει στην κατανόηση και το ξεπέρασμα των δυσκολιών που κρύβουν αυτές οι μαθηματικές εξισώσεις.
7. Υπόθεση Μπερτς και Σουίνερτον – Ντάιερ
Οι μαθηματικοί ανέκαθεν ενδιαφέρονταν για το πρόβλημα της ανακάλυψης ακέραιων λύσεων για εξισώσεις του τύπου
x2+y2=z2.
Ο Ευκλείδης έδωσε την πλήρη λύση στην εξίσωση αυτή, αλλά για περισσότερο περίπλοκες εξισώσεις, αυτό καθίσταται πολύ δύσκολο. Πράγματι, το 1970, ο Ματιγιάσεβιτς έδειξε ότι το δέκατο πρόβλημα στον κατάλογο του Χίλμπερτ είναι άλυτο, δεν υπάρχει δηλαδή γενική μέθοδος επιβεβαίωσης, ότι τέτοιες εξισώσεις έχουν λύσεις σε πλήρεις αριθμούς. Αλλά σε ορισμένες ειδικές περιπτώσεις, μπορεί να έχουμε καλύτερη τύχη. Η Υπόθεση Μπερτς και Σουίνερτον – Ντάιερ αφορά τις λύσεις ορισμένων τέτοιων, ειδικών περιπτώσεων.
Πηγές: Δίκτυο, Science Illustrated, physics4u
Υ.γ. Ρήγα ετοιμάσου για το εκατομμύριο!
Διαβάστε Περισσότερα »
Related Posts Plugin for WordPress, Blogger...