Το θεώρημα της πίτσας!!!!!!




Το θεώρημα της πίτσας!!!!!!

Αν έχουν στραβοκόψει την πίτσα σας, πώς θα ξέρετε ποιος από τους συνδαιτυμόνες έχει φάει περισσότερο; Ένα τέτοιο πρόβλημα δεν απασχολεί μόνο τους πεινασμένους, αλλά και τους μαθηματικούς που διατύπωσαν -ύστερα από πολλές περιπέτειες- το περίφημο «θεώρημα της πίτσας».


Για τους περισσότερους το μεσημεριανό γεύμα με έναν συνάδελφο είναι μια χαλαρή υπόθεση όπου οι προβληματισμοί εξαντλούνται στο ποιο πιάτο θα διαλέξουν και αν θα πάρουν γλυκό. Για τον Ρικ Μέιμπρικαι τον Πολ Ντάιερμαν όμως το ζήτημα δεν ήταν ποτέ τόσο απλό. Τους είναι αδύνατον, για παράδειγμα, να δουν στο τραπέζι τους μια πίτσα χωρίς να προσπαθήσουν να βρουν τη λύση στο μαθηματικό πρόβλημα του πώς να τη μοιράσουν. «Τρώγαμε μαζί τουλάχιστον μία φορά την εβδομάδα» λέει ο κ. Μέιμπρι αναφερόμενος στις αρχές της δεκαετίας του 1990, όταν οι δύο μαθηματικοί εργάζονταν στο Πολιτειακό Πανεπιστήμιο της Λουιζιάνας. «Ο ένας από τους δυο μας έφερνε ένα τετράδιο και αρχίζαμε να κάνουμε σχεδιαγράμματα αφήνοντας το φαγητό μας να κρυώνει».  


Η σπαζοκεφαλιά

Το πρόβλημα που τους απασχολούσε ήταν το εξής: ας υποθέσουμε ότι στη βιασύνη του ο σερβιτόρος κόβει την πίτσα εκτός κέντρου, με όλες τις τομές να διασταυρώνονται σε ένα σημείο σχηματίζοντας ίσες γωνίες με τη γειτονική τους. Οι εκτός κέντρου τομές σημαίνουν ότι τα κομμάτια δεν θα έχουν το ίδιο μέγεθος. Επομένως δύο άτομα που παίρνουν εναλλάξ διαδοχικά κομμάτια, θα έχουν φάει ίσα μερίδια όταν τελειώσει η πίτσα και, αν όχι, ποιος θα έχει φάει περισσότερο; 

Φυσικά, θα μπορούσε κανείς να λύνει κάθε φορά το συγκεκριμένο πρόβλημα υπολογίζοντας την επιφάνεια κάθε κομματιού και προσθέτοντας τα κομμάτια του καθενός μεταξύ τους. Οι δύο ερευνητές είναι όμως μαθηματικοί και δεν αρκούνται σε τέτοιου είδους λύσεις: ήθελαν μια θεωρητική κατασκευή χωρίς ακριβείς υπολογισμούς, έναν κανόνα που θα ισχύει πάντοτε και θα μπορεί να εφαρμόζεται για κάθε στρογγυλή πίτσα. 

Όπως συμβαίνει με πολλές μαθηματικές σπαζοκεφαλιές, η απάντηση ήρθε σε στάδια, για διαφορετικές κάθε φορά πιθανές περιπτώσεις του προβλήματος. Η ευκολότερη προσφέρεται όταν τουλάχιστον μία τομή περνάει από το κέντρο της πίτσας. Ένα γρήγορο σχήμα μπορεί να δείξει ότι στην περίπτωση αυτή τα αντιδιαμετρικά κομμάτια είναι συμπληρωματικά μεταξύ τους οπότε μοιράζονται ίσα ανάμεσα στους δύο συνδαιτυμόνες, ανεξάρτητα από το πόσες είναι οι τομές. 


Η ευκολία των ζυγών

Τι γίνεται όμως όταν καμία τομή δεν περνάει από το κέντρο; Αν η πίτσα κόβεται μία φορά, η απάντηση είναι προφανής με το μάτι: όποιος τρώει το κέντρο τρώει περισσότερο. Αν γίνουν δύο τομές, που δίνουν τέσσερα κομμάτια, το αποτέλεσμα είναι το ίδιο: όποιος φάει το κομμάτι που περιλαμβάνει το κέντρο τρώει περισσότερη πίτσα. Οσο όμως οι τομές αυξάνονται, παρουσιάζονται διάφορες ανωμαλίες και η λύση τους οδήγησε, με τον χρόνο, στον σχηματισμό των τριών γενικών κανόνων που απαρτίζουν το θεώρημα της πίτσας. 

Ο πρώτος ορίζει ότι αν η πίτσα κοπεί σε ένα δεδομένο σημείο με ζυγό αριθμό τομών μεγαλύτερο του 2, θα μοιραστεί ίσα ανάμεσα στους δύο συνδαιτυμόνες που παίρνουν εναλλάξ διαδοχικά κομμάτια. Προτάθηκε για πρώτη φορά για 4 τομές (8 κομμάτια) από κάποιον Λ. Τζ. Άπτον το 1967 στο περιοδικό «Μathematics Μagazine», ενώ η λύση που όριζε ότι η πίτσα μοιράζεται ίσα για οποιονδήποτε αριθμό ζυγών τομών ήλθε έναν χρόνο αργότερα ως απάντηση στην «πρόκληση» του Άπτον. 


Ο σκόπελος των μονών 


Με τους μονούς αριθμούς τομών όμως τα πράγματα περιπλέκονται. 

Εδώ το θεώρημα της πίτσας λέει ότι αν κόψει κανείς την πίτσα με 3, 7, 11, 15... τομές χωρίς καμία τομή να περνάει από το κέντρο της, τότε αυτός που θα πάρει το κομμάτι που περιέχει το κέντρο της πίτσας θα φάει συνολικά περισσότερο. Αν όμως οι τομές είναι 5, 9, 13, 17... αυτός που θα πάρει το κομμάτι με το κέντρο καταλήγει να τρώει λιγότερο. 

Το θεώρημα ισχύει αν κάνει κανείς τους υπολογισμούς, είναι όμως εξαιρετικά δύσκολο να αποδειχθεί από τους μαθηματικούς. Τόσο δύσκολο ώστε οι κκ. Μέιμπρι και Ντάιερμαν μόλις τώρα κατόρθωσαν να ολοκληρώσουν μια απόδειξη η οποία καλύπτει όλες τις πιθανές περιπτώσεις. 

Η προσπάθειά τους ξεκίνησε το 1994, όταν ο κ. Ντάιερμαν έδειξε στον κ. Μέιμπρι μια διορθωμένη εκδοχή του θεωρήματος της πίτσας που επανεμφανίστηκε στο «Μathematics Μagazine» προκαλώντας τους αναγνώστες να αποδείξουν δύο συγκεκριμένες περιπτώσεις του προβλήματος, αυτή στην οποία η πίτσα κόβεται με 3 τομές και αυτή στην οποία κόβεται με 5. Η «άσχημη» λύση 
Ο κ. Ντάιερμαν έλυσε γρήγορα το πρόβλημα των 3 τομών, το οποίο οι συγγραφείς του άρθρου είχαν λύσει αλλά δεν αποκάλυπταν στο δημοσίευμα. Στη συνέχεια οι δύο συνεργάτες βρήκαν τη λύση για τις περιπτώσεις των 5 και των 7 τομών (οι οποίες έδιναν το ίδιο αποτέλεσμα με τις 3). Ενθουσιασμένοι με την επιτυχία τους, θεώρησαν ότι είχαν βρει την τεχνική που θα έλυνε πλήρως το πρόβλημα. Σε ένα μονό αριθμό τομών, τα αντιδιαμετρικά αντίθετα κομμάτια πηγαίνουν σε διαφορετικούς συνδαιτυμόνες, οπότε συγκρίνοντας κανείς τα μεγέθη τους μπορεί να βρει, για αυτά τα δύο, ποιος παίρνει περισσότερο και πόσο και στη συνέχεια να περάσει στο επόμενο αντιδιαμετρικά αντίθετο «ζευγάρι». 

Παρ΄ ότι ακούγεται απλό, στην πράξη αποδείχθηκε σχεδόν αδύνατον να βρεθεί μια λύση που να καλύπτει όλους τους πιθανούς μονούς αριθμούς τομών. Οι δύο μαθηματικοί χρησιμοποίησαν ένα γεωμετρικό τέχνασμα για να απλοποιήσουν τη διαδικασία, εισάγοντας ένα παραλληλεπίπεδο που σχηματίζεται από κάθε τομή και μια παράλληλή της γραμμή η οποία περνάει από το κέντρο της πίτσας. Και πάλι όμως η λύση δεν ήταν ικανοποιητική εφόσον απαιτούσε πολύπλοκους υπολογισμούς. Ήταν, όπως λένε, «άσχημη». 


Ο παράγων «καθαρός αέρας» 
  
Στα χρόνια που ακολούθησαν, ασχολήθηκαν κατά καιρούς και πάλι με το πρόβλημα, χωρίς όμως περαιτέρω επιτυχία. Η «φώτιση» ήρθε το 2006, όταν ο κ. Μέιμπρι βρισκόταν για διακοπές στη Γερμανία. «Ήμουν σε ένα ωραίο ξενοδοχείο, με ευχάριστο, δροσερό περιβάλλον και χωρίς κομπιούτερ» λέει. «Άρχισα να σκέφτομαι ξανά το πρόβλημα και τότε όλα άρχισαν να λειτουργούν». Ως τότε οι δύο μαθηματικοί χρησιμοποιούσαν μοντέλα στον ηλεκτρονικό υπολογιστή για τα αποτελέσματά τους. Μόλις όμως ο κ. Μέιμπρι άφησε την τεχνολογία στην άκρη, μπόρεσε να δει το πρόβλημα καθαρά. Επιστρέφοντας έβαλε ξανά τον υπολογιστή να δουλέψει για να βρει όλες τις πληροφορίες που χρειάζονταν για να προχωρήσει τις σκέψεις του και τελικά όλα μπήκαν στη θέση τους. Η απόδειξη του θεωρήματος της πίτσας βρέθηκε, λοιπόν, επιτέλους και έχει δημοσιευθεί στην επιθεώρηση Αmerican Μathematical Μonthly (Μάιος 2009). Ποιες πρακτικές εφαρμογές μπορεί να έχει; Προς το παρόν δεν διαφαίνεται καμία, αυτό όμως δεν ανησυχεί τον κ. Μέιμπρι. «Το παράξενο με εμάς τους μαθηματικούς» λέει «είναι ότι συχνά δεν μας ενδιαφέρει αν τα αποτελέσματα έχουν εφαρμογές γιατί τα ίδια τα αποτελέσματα είναι τόσο όμορφα». Πολλές φορές ωστόσο η χρησιμότητα των λύσεων τέτοιου είδους αφηρημένων μαθηματικών προβλημάτων εμφανίζεται με απρόσμενους τρόπους: ένα ξεχασμένο μαθηματικό παράδοξο του 19ου αιώνα για ένα μορφοκλασματικό είδος καμπύλης επανήλθε στο προσκήνιο ως μοντέλο για το σχήμα του ανθρώπινου γονιδιώματος.   

Πηγή: http://mathhmagic.blogspot.com
Διαβάστε Περισσότερα »

Αυτοκτόνησε ο Aaron Swartz




Σε περίπτωση που δεν το ακούσατε ακόμα, ο Aaron Swartz, πολεμιστής ενάντια στην φίμωση του διαδικτύου και ένας από τους συγγραφείς του RSS, αυτοκτόνησε λόγω των κατηγοριών σε βάρος του. Αυτό ενώ ήταν μόνο 26 χρονών.

Ο Aaron Swartz, προσπαθώντας να καταπολεμήσει την "κατάντια" του συστήματος δημοσιεύσεων από επιστήμονες, που δηλαδή έρευνες που γίνονται με δημόσια χρήματα, καταλήγουν σε ιδιωτικά χέρια και σε έλεγχο με σκοπό το χρήμα, χρησιμοποίησε το ασύρματο δίκτυο του MIT για να κατεβάσει papers από τον διάσημο οίκο JSTOR. Όταν το MIT του απαγόρευσε την πρόσβαση, ο Aaron παραβίασε το δίκτυο από μέσα, συνδέοντας το laptop του απευθείας με ένα τερματικό δικτύου στο MIT. 

Λόγω αυτού αλλά και της λήψης εκατοντάδων paper από το JSTOR, με σκοπό να τα ανεβάσει σε κάποια σελίδα όπου όλοι θα μπορούν να τα διαβάσουν, το JSTOR κατέθεσε  μήνυση (την οποία βέβαια απέσυρε αργότερα).  Παρά την νέα στάση του JSTOR, ένας δικαστής στην Μασαχουσέτη αποφάσισε να πιέσει για δίκη, ρίχνοντας στον κατηγορούμενο ποινή $1.000.000 και φυλάκιση μέχρι και 30 χρόνια. Πρόκειται για πολύ αυστηρή ποινή αν σκεφτεί κανείς ποίο ήταν το έγκλημα.

Ο Aaron, που υπέφερε έτσι και αλλιώς από κατάθλιψη, αυτοκτόνησε κάτω από το βάρος όλης αυτής της κατάστασης την Παρασκευή (11/01/13), λίγους μήνες πριν από την δίκη του. 

Για να τον τιμήσουν, πολλοί καθηγητές ανεβάζουν τα papers τους στο twitter, κάτω από το hashtag #pdftribute. 

Επιπλέον, για την ανάμειξη που είχε το MIT στην υπόθεση, οι ομάδα των Anonymous έκανε "επίθεση" στους server τους με αποτέλεσμα όλα τα site με την κατάληξη mit.edu να πέσουν για μια μέρα και στην θέση τους έβαλαν το παρακάτω μήνυμα. 

Κάντε κλικ πάνω στην εικόνα για να διαβάσετε ολόκληρο το μήνυμα των Anonymous.



mathcom.gr
Διαβάστε Περισσότερα »

Ένα video μάθημα με cartoon για τους άρρητους αριθμούς

Square Root Clip Art

Μια ενδιαφέρουσα σειρά με cartoon για τα μαθηματικά που βρήκα στο YouTube.
Δυστυχώς είναι στα αγγλικά αλλά είναι απλά και κατανοητά.
Σύντομα θα ανεβάσω και άλλα :)

Διαβάστε Περισσότερα »

eMath:a



Με μεγάλη χαρά κάνω γνωστό σε όσους δεν το ξέρουν ότι οι ΦΙΛΟΙ και ΣΥΝΑΔΕΛΦΟΙ Γρηγόρης Μούτσιος και Γιώργος Παρίσης έστησαν τη δική τους σελίδα με ασκήσεις Μαθηματικών για το Λύκειο.

Χαρακτηριστικά αναφέρω το κείμενο εισαγωγής


 Καλώς Ήλθατε

Εδώ θα βρείτε προτεινόμενα θέματα μαθηματικών για όλες τις τάξεις του γενικού λυκείου.
Τα θέματα είναι προϊόν πνευματικής εργασίας του Γιώργου Παρίση καιΓρηγόρη Μούτσιου και φιλοδοξούν να είναι πρωτότυπα και χρήσιμα.
Μπορείτε να τα χρησιμοποιήσετε ελεύθερα ή να παράξετε νέα θέματα στηριζόμενα σε αυτά αναφέροντας τους δημιουργούς τους.
Στη περίπτωση δημοσίευσης τους σε ιστοσελίδα ή άλλο ηλεκτρονικό μέσο να συμπεριλαμβάνεται επιπλέον και σύνδεσμος στον ιστότοπο
Δεν επιτρέπεται όμως σε καμμία περίπτωση η εμπορική τους εκμετάλλευση με οποιονδήποτε τρόπο.
Να τους ευχηθώ και on line καλή επιτυχία στο εγχείρημά τους.


Διαβάστε Περισσότερα »

2013!



• Ο 2013 αποτελεί μια  μετάθεση των αριθμών 0,1,2,3 .
• Ο 2013 έχει 8  διαιρέτες : 1, 3, 11, 33, 61, 183, 671, 2013
• Ο 2013 έχει 3 πρώτους  διαιρέτες :  3, 11,  61   (2013 = 3 x 11 x 61)
...............................
Ο 2013 είναι αριθμός Smith τάξης 2 εφόσον το άθροισμα των ψηφίων  των  πρώτων διαιρετών του είναι διπλάσιο από το άθροισμα των ψηφίων του .
Ο 2013  ανήκει στην τριάδα διαδοχικών αριθμών  2013,2014, 2015 που έχουν  το ίδιο πλήθος  διαιρετών .Ο καθένας τους είναι γινόμενο τριών διαφορετικών πρώτων αριθμών.
3 + 1+1+ 6+1=12 ( οι πρώτοι διαιρέτες του 2013 : 3,11,61 )
2+0+1+3=6
• Το άθροισμα των ψηφίων της παράστασης του στο δυαδικό σύστημα(11111011101) , στο τριαδικο(2202120),  και στο πενταδικό (31023) είναι το ίδιο.
• Το άθροισμα του 2013 και των πρώτων διαιρετών του ισούται με το άθροισμα του 2014  και των πρώτων διαιρετών του :2013 + 3 + 11 + 61 = 2014 + 2 + 19 + 53 = 2088.
• Ο 2013 σαν  διαφορά δυο τετραγώνων :
2013 = 472 - 142 = 972 - 862 = 3372 - 3342 = 10072 - 10062
• Ο  2013ος  πρώτος αριθμός είναι : 17491
• Στα διακριτά μαθηματικά υπάρχουν 2013 δέντρα με 27 κόμβους και 4 φύλλα( κόμβοι που δεν έχουν παιδιά)
 
Το έτος 2013  είναι αφιερωμένο  στα "μαθηματικά του πλανήτη Γη" (Mathematics of Planet Earth.)
 
Στις 25  Απριλίου του 2013 θα λάβει χώρα  μερική έκλειψη σελήνης .
• Στις 10   Μαΐου  του 2013 θα λάβει χώρα    έκλειψη ηλίου .
• Στις 13   Νοεμβρίου   του 2013 θα λάβει χώρα  ολική  έκλειψη ηλίου .
• Στις 25  Μαΐου   του 2013 θα λάβει χώρα  σεληνιακή   έκλειψη  .
• Στις 18 Οκτωβρίου  του 2013 θα λάβει χώρα  σεληνιακή   έκλειψη  .
 
  Το έτος 2013 είναι επίσης αφιερωμένο στην στατιστική. (International Year of Statistics.) 
 
Αναδημοσίευση από το ιστολόγιο:  mathhmagic.blogspot.gr
Διαβάστε Περισσότερα »

Μαθηματικός γρίφος με κρυπτικές συναρτήσεις λύθηκε έπειτα από 100 χρόνια!


Μαθηματικός γρίφος με κρυπτικές συναρτήσεις λύθηκε έπειτα από 100 χρόνια!

Ο μεγάλος Ινδός μαθηματικός, Σρινιβάσα Ραμανουτζάν, έγραψε στο νεκροκρέβατό του κάποιες κρυπτικές συναρτήσεις, που ισχυριζόταν ότι εμφανίστηκαν στο όνειρό του, μαζί με κάποιες υποθέσεις για το πώς συμπεριφέρονται. Σχεδόν 100 χρόνια μετά…ερευνητές υποστηρίζουν πως απέδειξαν τις υποθέσεις του σωστές.
«Καταφέραμε να λύσουμε τα προβλήματα από τα τελευταία μυστηριώδη γράμματά του. Για τους μαθηματικούς που ασχολούνται με το συγκεκριμένο πεδίο, το πρόβλημα ήταν ανοιχτό για πάνω από ενενήντα χρόνια», δήλωσε ο Κεν Όνο, μαθηματικός του Πανεπιστημίου Έμορυ στην Ατλάντα των Ηνωμένων Πολιτειών.
Ο Ραμανουτζάν γεννήθηκε το 1887 σε ένα αγροτικό χωριό της Νότιας Ινδίας και ήταν σε μεγάλο βαθμό αυτοδίδακτος. Ο μύθος τον θέλει να είναι τόσο απορροφημένος στις σκέψεις και τους υπολογισμούς του για τα μαθηματικά που απέτυχε δύο φορές σε κολλέγιο της Ινδίας. Παρά το γεγονός ότι ήταν απομονωμένος από την παγκόσμια μαθηματική κοινότητα, η κλίση του Ραμανουτζάν τον οδήγησε να ασχοληθεί με προχωρημένη τριγωνομετρία στα 12 του χρόνια, και να ανακαλύπτει δικά του θεωρήματα στην ηλικία των 17. Επίσης απέδειξε πασίγνωστα θεωρήματα όπως του Όιλερ χωρίς να γνωρίζει ότι είχαν ήδη διατυπωθεί και αποδειχθεί.
Αργότερα στη ζωή του δέχτηκε πρόσκληση από τον Άγγλο καθηγητή Τζ. Χ. Χάρντυ και πήγε στο Πανεπιστήμιο του Καίμπριτζ όπου πραγματοποίησε περισσότερες από 30 δημοσιεύσεις και έγινε δεκτός στην Βασιλική Κοινότητα Μαθηματικών. Δυστυχώς απεβίωσε σε ηλικία μόλις 32 ετών, λόγω βεβαρημένης υγείας και πιθανώς ηπατικής μόλυνσης που προκλήθηκε από στρες και κακή διατροφή. Άλλωστε η Αγγλία του Μεσοπολέμου δεν προσέφερε πολλές δυνατότητες για χορτοφαγική δίαιτα.
Σε ένα γράμμα προς τον Χάρντυ από το νεκροκρέβατό του στην Ινδία το 1920, περιέγραψε κάποιες μυστηριώδεις συναρτήσεις παρόμοιες με τις συναρτήσεις θήτα. Οι συναρτήσεις θήτα εμφανίζουν επαναλαμβανόμενα μοτίβα όπως οι τριγωνομετρικές συναρτήσεις του ημιτόνου και του συνημιτόνου, αλλά αρκετά πιο πολύπλοκα. Οι συναρτήσεις αυτές χαρακτηρίζονται ως «υπερσυμμετρικές», δηλαδή αν εφαρμοστεί πάντως τους η μετατροπή Moebius (μια συγκεκριμένη μαθηματική συνάρτηση), μετατρέπονται στον εαυτό τους. Αυτές οι συμμετρικές ιδιότητες των συναρτήσεων θήτα τις κάνουν ιδιαίτερα χρήσιμες σε πολλά πεδία των μαθηματικών και της φυσικής, συμπεριλαμβανομένης της θεωρίας χορδών.
Ο Ραμανουτζάν πίστευε ότι οι 17 νέες συναρτήσεις που ανακάλυψε έμοιαζαν με συναρτήσεις θήτα όταν γράφονταν ως απειροστικό άθροισμα, αλλά δεν ήταν υπερσυμμετρικές. Ο ιδιαίτερα θρησκόληπτος Ραμανουτζάν πίστευε ότι οι συναρτήσεις αυτές του παρουσιάστηκαν από τη θεά Ναματζίρι.
Πάνω από ενενήντα χρόνια μετά, ο Όνο και η ομάδα του απέδειξαν τον ισχυρισμό του Ραμανουτζάν, ο οποίος λόγω του πρώιμου θανάτου του δεν πρόλαβε να ολοκληρώσει τον συλλογισμό του. Πράγματι οι συναρτήσεις αυτές «μιμούνται» τις συναρτήσεις θήτα αλλά δεν μοιράζονται τα καθοριστικά χαρακτηριστικά τους όπως η υπερσυμμετρία.
Η κληρονομιά του Ραμουτζάν συνεχίζει να γιγαντώνεται από τότε που απεβίωσε. Αξίζει να σημειωθεί ότι ο συλλογισμός του ήταν τόσο μπροστά από την εποχή του, που η μαθηματική κοινότητα κατάφερε μόλις το 2002 να προσδιορίσει σε ποιο μαθηματικό κλάδο ανήκουν αυτές οι εξισώσεις.
Πληροφορίες: naftemporiki.gr
Διαβάστε Περισσότερα »
Related Posts Plugin for WordPress, Blogger...