Η μαθηματική σταθερά π είναι ένας πραγματικός αριθμός που μπορεί να οριστεί ως ο λόγος του μήκους της περιφέρειας ενός κύκλου προς τη διάμετρό του στηνΕυκλείδεια γεωμετρία, και ο οποίος χρησιμοποιείται πολύ συχνά στα μαθηματικά, τη φυσική και τη μηχανολογία. Ο συμβολισμός προέρχεται από το αρχικό γράμμα «π» (πι) της λέξης «περιφέρεια», και έχει καθιερωθεί διεθνώς, ενώ στο λατινικό αλφάβητο συμβολίζεται ως Pi, όταν δεν είναι διαθέσιμοι τυπογραφικά ελληνικοί χαρακτήρες. Το π είναι γνωστό επίσης ως σταθερά του Αρχιμήδη (δεν πρέπει να συγχέεται με τον αριθμό του Αρχιμήδη) ή αριθμός του Λούντολφ.
Στην Ευκλείδια επιπεδομετρία, το π μπορεί να οριστεί είτε ως ο λόγος της περιφέρειας ενός κύκλου προς τη διάμετρό του, είτε ως ο λόγος του εμβαδού ενός κύκλου προς το εμβαδόν του τετραγώνου που έχει πλευρά ίση με την ακτίνα του κύκλου. Τα εγχειρίδια ανώτερων μαθηματικών ορίζουν το π αναλυτικάχρησιμοποιώντας τριγωνομετρικές συναρτήσεις, για παράδειγμα ως το μικρότερο θετικό x για το οποίο ισχύει ημ(x) = 0, ή ως δύο φορές το μικρότερο θετικό x για το οποίο ισχύει συν(x) = 0. Όλοι αυτοί οι ορισμοί είναι ισοδύναμοι.
Ο Αρχιμήδης καθόρισε την πρώτη επιστημονικά αποδιδεγμένη μέθοδο με την οποία υπολογίζεται ο αριθμός.
Τα πρώτα 50 δεκαδικά ψηφία του π είναι:
3,14159 26535 89793 23846 26433 83279 50288 41971 69399 37510
Μολονότι η ακρίβεια αυτή είναι παραπάνω από επαρκής για πρακτικούς σκοπούς στη μηχανολογία και την επιστήμη, η ακριβής τιμή του π περιλαμβάνει άπειρα δεκαδικά ψηφία (που επιπλέον δεν επαναλαμβάνονται ποτέ με την ίδια σειρά). Κατά τους λίγους τελευταίους αιώνες, έχουν καταβληθεί μεγάλες προσπάθειες για τον υπολογισμό όλο και περισσότερων ψηφίων του π και τη διερεύνηση των ιδιοτήτων του αριθμού αυτού. Παρά τον όγκο της αναλυτικής εργασίας, σε συνδυασμό με τη χρήσηυπερυπολογιστών σε υπολογισμούς που έχουν προσδιορίσει πάνω από 1 τρισεκατομμύριο ψηφία του π, δεν βρέθηκε ποτέ κάποια αναγνωρίσιμη διάταξη στα ψηφία του. Ψηφία του π είναι διαθέσιμα από μια πληθώρα πηγών στο Διαδίκτυο, και ένας κοινός προσωπικός υπολογιστής μπορεί να υπολογίσει δισεκατομμύρια ψηφία του π μέσω διαθέσιμου λογισμικού.
Πολλές ιστοσελίδες δίνουν το π με πολλά δεκαδικά ψηφία.[1] Και ενώ τα δεκαδικά του π έχουν υπολογιστεί σε περισσότερα από πέντε τρισεκατομμύρια[2] (5*1012) σε πρακτικές εφαρμογές κανένας δεν χρειάζεται περισσότερα από μια ντουζίνα. Παραδείγματος χάριν με 11 δεκαδικά ψηφία του π μπορεί κάποιος να υπολογίσει ένα κύκλο που θα χωράει μέσα του την Γη και το λάθος θα είναι λιγότερο από 1 χιλιοστό. Με 39 δεκαδικά μπορεί να υπολογιστεί κύκλος που θα χωράει μέσα του όλο το ορατό σύμπαν και το λάθος θα είναι όσο η ακτίνα του ατόμου του υδρογόνου.[3]
Ιδιότητες
Το π είναι ένας άρρητος αριθμός· αυτό σημαίνει ότι δεν μπορεί να εκφραστεί ως ο λόγος δύο ακεραίων αριθμών, πράγμα που αποδείχθηκε το 1761 από τον Γιόχαν Χάινριχ Λάμπερτ (Johann Heinrich Lambert)..
Το π είναι επίσης υπερβατικός αριθμός, όπως αποδείχθηκε από τον Φέρντιναντ φον Λίντεμανν (Ferdinand von Lindemann) το 1882. Αυτό σημαίνει ότι δεν υπάρχει πολυώνυμο με ρητούς συντελεστές του οποίου να αποτελεί ρίζα το π. Μια σημαντική συνέπεια της υπερβατικότητας του π είναι το γεγονός ότι δεν είναι κατασκευάσιμο. Επειδή οι συντεταγμένες όλων των σημείων που μπορούν να κατασκευαστούν με κανόνα και διαβήτη είναι κατασκευάσιμοι αριθμοί, είναι αδύνατον να τετραγωνίσουμε τον κύκλο, με άλλα λόγια, είναι αδύνατον να κατασκευάσουμε, χρησιμοποιώντας μόνο κανόνα και διαβήτη, ένα τετράγωνο με εμβαδόν ίσο προς το εμβαδόν δοσμένου κύκλου.
«Αεί ο Θεός ο Μέγας γεωμετρεί...»
Για την απομνημόνευση των πρώτων λίγων δεκαδικών ψηφίων του αριθμού π έχουν επινοηθεί διάφοροι μνημονικοί κανόνες, ανάμεσά τους και η παρακάτω φράση,που την επινόησε ο Ν. Χατζιδάκης (1872-1942) καθηγητής Μαθηματικών στο Πανεπιστήμιο Αθηνών, με την οποία μπορεί να θυμάται κανείς τα πρώτα 22 δεκαδικά ψηφία του π:
Αεί ο Θεός ο Μέγας γεωμετρεί, το κύκλου μήκος ίνα ορίση διαμέτρω, παρήγαγεν αριθμόν απέραντον, καί όν, φεύ, ουδέποτε όλον θνητοί θα εύρωσι
Το πλήθος των γραμμάτων κάθε λέξης της φράσης αυτής αντιστοιχεί σε καθένα από τα διαδοχικά ψηφία του αριθμού π (3,14159...)
Το ρεκόρ Γκίνες είναι 67.890 ψηφία και το κατέχει ο Lu Chao, 24-χρονος κινέζος φοιτητής. Του πήρε 24 ώρες και 4 λεπτά για να θυμηθεί και τα 67.890 δεκαδικά ψηφία του π χωρίς λάθος.
Τα περισσότερα ψηφία που υπολογίστηκαν σε προσωπικό υπολογιστή
Τα περισσότερα ψηφία που υπολογίστηκαν σε προσωπικό υπολογιστή έγιναν από τους Alexander J. Yee & Shigeru Kondo στον 2 x Intel Xeon X5680 στα 3.33 GHz - (12 physical cores, 24 hyperthreaded) - με μνήμη 96GB DDR3 χρησιμοποιώντας Windows Server 2008 R2 Enterprise x64. Ο Kondo κατάφερε να υπολογίσει περί τα 5 τρισεκατομμύρια ψηφία που ακολουθούν μετά το 3,14. Ο υπολογισμός των ψηφίων διήρκεσε 90 ημέρες αρχίζοντας στις 4 Μαΐου 2010. Μάλιστα, όπως δήλωσε ο ίδιος, παρ΄ ολίγον η όλη προσπάθεια να πάει στράφι όταν η κόρη του θέλοντας να χρησιμοποιήσει ένα πιστολάκι για τα μαλλιά δημιούργησε βραχυκύκλωμα και έπεσε ο γενικός διακόπτης του σπιτιού, αλλά ευτυχώς ο υπολογιστής ενεργοποίησε αυτόματα έναν μηχανισμό διατήρησης της λειτουργίας του για λίγα λεπτά έως ότου αποκατασταθεί το πρόβλημα.
Η σελίδα του Stu's μεταγλωττίζει μια λίστα από μεγάλους αριθμούς (πάνω από 1 δισ. ή 1.073.741.824).
Το προηγούμενο ρεκόρ ανήκε σε έναν γάλλο προγραμματιστή, τον Fabrice Βellard, που είχε καταφέρει να υπολογίσει 2,7 τρισ. δεκαδικά ψηφία του αριθμού.
Πηγή : Wikipedia
Δεν υπάρχουν σχόλια:
Δημοσίευση σχολίου