Ο Αρχιμήδης και το βοεικό πρόβλημα

Αρχιμήδης

Ο Αρχιμήδης (287-212 π.Χ.) ήταν αναμφισβήτητα ο μεγαλύτερος μαθηματικός της αρχαιότητας και ένας από τους σημαντικότερους όλων των εποχών. Η συμβολή του στα μαθηματικά είναι ποικίλη. Πρωτίστως, επινόησε μεθόδους αντίστοιχες του ολοκληρωτικού λογισμού των Λάιμπνιτς και Νεύτωνα, βελτιώνοντας τις μεθόδους του Ευδόξου, τις οποίες εφάρμοσε για τον προσδιορισμό εμβαδών και όγκων διαφόρων σχημάτων. Δεύτερον ασχολήθηκε με τη θεωρητική και εφαρμοσμένη μηχανική, αλλά με την αστρονομία στις οποίες είχε αξιόλογη συμβολή. Τέλος, άφησε διάφορα άλλα σημαντικά μαθηματικά κείμενα, συμπεριλαμβανομένης της περίφημης «Εφόδου».
Είναι γνωστό, ότι ο Αρχιμήδης συνήθιζε να στέλνει επιστολές από τις Συρακούσες όπου ζούσε προς στους μαθηματικούς της Αλεξάνδρειας. Μερικές από αυτές τις επιστολές περιείχαν τις εκφωνήσεις νέων, δικών του, θεωρημάτων, αλλά δεν συνοδευόντουσαν και από τις αποδείξεις τους. Η αιτία ήταν γιατί ήθελε να δώσει την ευκαιρία στους μαθηματικούς να τις διερευνήσουν πριν τους στείλει, αργότερα, το νέο του κάθε φορά βιβλίο με τις αποδείξεις. Παραδείγματος χάριν στο πρόλογο του «Περί Ελίκων» του γράφει προς τον φίλο του μαθηματικό Δοσίθεο αναφερόμενος σε παλαιότερη επιστολή προς τον Κόνωνα, ο οποίος δεν ζούσε πια, τα εξής (σε ελεύθερη απόδοση):
«Τα θεωρήματα που έστειλα προς τον Κόνωνα, για τα οποία πάντοτε με παρότρυνες να γράψω τις αποδείξεις [...] σου τις στέλνω αφού τις έγραψα σ’ αυτό το βιβλίο. Μην απορήσεις όμως εάν μου πήρε πολύ χρόνο να δημοσιεύσω τις αποδείξεις τους γιατί συνέβη το εξής, ήθελα πρώτα να τις δώσω σε εκείνους τους ενασχολούμενους με τα μαθηματικά οι οποίοι επιθυμούσαν να τις διερευνήσουν (δια το βούλεσθαί με πρότερον διδόμεν τοις περί τα μαθήματα πραγματευομένοις και μαστεύειν αυτά προαιρουμένοις).
Τα προβλήματα που έστελνε ο Αρχιμήδης στις επιστολές του ήταν πολύ δύσκολα. Απλή εξέταση όσων εξ αυτών έφτασαν μέχρι τις μέρες μας, και είναι αρκετά, μας πείθει για του λόγου το αληθές. Άλλωστε συχνά αναφέρει ο ίδιος στα κείμενά του ότι τα προβλήματα που είχε στείλει κάποια προηγούμενη φορά κανείς δε φαίνεται να τα έλυσε. Λόγου χάριν στο «Περί Ελίκων», λίγο πριν γράψει τις λύσεις, αναφέρει «[...] αφού πέρασαν πολλά χρόνια και δεν πληροφορήθηκα ότι επιλήφθηκε κανείς των προβλημάτων, επιθυμώ να σου εξηγήσω το καθένα [...]»
Ο Αρχιμήδης γνώριζε ότι αντιμετώπιζε σοβαρότατα προβλήματα με την εντιμότητα των συναδέλφων του μαθητικών της Αλεξάνδρειας και τα αντιμετώπιζε, στήνοντας διάφορες παγίδες ...
συγκεκριμένα, όπως γράφει ο ίδιος, για μερικά θεωρήματα δεν διατυπώνει την σωστή απάντηση γιατίορισμένοι έχουν την κακή συνήθεια να σφετερίζονται τα θεωρήματά του, λέγοντας ότι τα απέδειξαν οι ίδιοι στο παρελθόν. Γράφει χαρακτηριστικά ότι «[...] διότι συμβαίνει δύο από τα θεωρήματά μου να τα έχω προσθέσει εδώ εσφαλμένα, ώστε αυτοί που ισχυρίζονται ότι τα έχουν βρει όλα, χωρίς όμως να παρουσιάζουν και κάποια απόδειξη, να ελέγχονται ότι ευρίσκουν τα αδύνατα». Και αποκαλύπτει την πονηριά του μόνον αργότερα, όταν στέλνει τις λύσεις στα προβλήματά του.

Ένα από τα τεχνάσματά ενσωμάτωσε σε ένα πρόβλημα, το λεγόμενο βοεικό, το οποίο απέστειλε στη μορφή ποιήματος σε ελεγειακό μέτρο στον φίλο του Ερατοσθένη για τους Αλεξανδρινούς μαθηματικούς.

Το πρόβλημα ζητά να βρεθεί το πλήθος βοδιών και αγελάδων ενός κοπαδιού, από κάποια απλά αριθμητικά δεδομένα. Ένας έμπειρος μαθηματικός δεν έχει καμία δυσκολία να καταστρώσει γρήγορα τις εξισώσεις από τα επιτάγματα του προβλήματος. Όμως ο Αρχιμήδης αναφέρει στους τελευταίους στίχους του ποιήματος ότι «αν καταφέρεις, ξένε, να εκφράσεις όλα τα μεγέθη των πληθών, πήγαινε υπερηφανευόμενος ότι αναδείχθηκες νικητής γνωρίζοντας ότι κρίθηκες τέλειος σε αυτού του είδους την σοφία (δηλαδή στην ικανότητα με τους αριθμούς)».
Ο τελευταίος αυτός στίχος φαίνεται προκλητικός. Είναι σαν να λεει ο Αρχιμήδης ότι δεν θα τα καταφέρει ο λύτης. Πού όμως έγκειται η δυσκολία; Αυτό που δεν αντιλαμβάνεται ο ανυποψίαστος επίδοξος λύτης είναι ότι ο Αρχιμήδης επέλεξε με τέτοια μαεστρία τα δεδομένα του προβλήματος ώστε η απάντηση, χωρίς να προδίδεται κάτι τέτοιο από τα δεδομένα, είναι τόσο μεγάλος αριθμός, που είναι αδύνατον να το γράψει κάτω κανείς. Πράγματι, μόνο το 1965 και με χρήση ισχυρότατων ηλεκτρονικών υπολογιστών έγινε εφικτή η καταγραφή των πληθών. Πρόκειται για οκτώ αριθμούς με 200.000 ψηφία ο καθένας. Για να καταγράψει κανείς τους οκτώ αριθμούς του Αρχιμήδη, πρέπει να γράψει περισσότερα ψηφία από όσα γράμματα έχουν 600 σελίδες κειμένου, χώρια οι πράξεις για να φτάσει κανείς μέχρι εκεί. Κάτι, φυσικά, πέρα από τις ανθρώπινες δυνάμεις.
[bulle.jpg]

Το βοεικό πρόβλημα.

1η εκφώνηση:

Αν είσαι ώ ξένε μου σοφός κι ο νους σου κάτι κόβει,
Σκέψου καλά και μέτρησε πόσα τα βόδια του Ήλιου
Που βόσκανε, σε τέσσερα κοπάδια μοιρασμένα,
Στους κάμπους του Σικελικού νησιού της Θρινακίας
Και που 'χε το καθένα τους αλλιώτικο ένα χρώμα.
Το πρώτο λαμποκόπαγε κι ήταν λευκό σα γάλα,
το δεύτερο μαυρειδερό, το άλλο ξανθό και το άλλο
ήταν κοπάδι παρδαλό........................................
..................................
Αν θέλεις των λευκότριχων να βρεις το πλήθος πάρε
Από τους μαύρους τους μισούς, το τρίτο τους, κι ακόμη
Μαζί τους κι όλους τους ξανθούς τους ταύρους να προσθέσεις
Αν πάλι των μαυρειδερών θέλεις να βρεις το πλήθος,
Να πάρεις απ τους παρδαλούς το τέταρτο, το πέμπτο,
ακόμη κι όλους τους ξανθούς μαζί τους να προσθέσεις.
Και, για να βρεις τους παρδαλούς που μένουνε, στοχάσου
να  πάρεις το έκτο κι έβδομο των άσπρων και μαζί τους
ακόμη κι όλους τους ξανθούς τους ταύρους να προσθέσεις.
Κ' οι αγελάδες βρίσκονταν καθώς θα πούμε τώρα:
..................................
Και τώρα, ξένε μου, αν τα βρεις πόσα τα βόδια του Ήλιου
..................................
Θα σε δεχτώ για μάστορη στων αριθμών την τέχνη.
..................................

2η εκφώνηση:

Ξένε μου, αν είσαι σοφός και ο νους σου κατεβάζει, προσεκτικά υπολόγισε πόσα τα βόδια του 
Ηλίου που βόσκανε σε τέσσερα κοπάδια μοιρασμένα στους κάμπους τους Σικελικούς της νήσου
Θρινακίας...
Καθένα από τα κοπάδια αυτά είχε δικό του χρώμα.
Το πρώτο άσπρο ήτανε, κατάλευκο σαν γάλα
το δεύτερο σκουρόχρωμο,
το άλλο ξανθό και το άλλο είχε διάφορα.
Και μέσα στα κοπάδια ήτανε ταύροι αμέτρητοι και καταμερισμένοι.
Στοχάσου ξένε για να βρεις στο πρόβλημα τη λύση:
Των ταύρων των λευκότριχων θέλεις να βρεις το πλήθος.
Πάρε από τους σκούρους τους μισούς, το τρίτο τους και βάλε και όλους τους ταύρους τους 
ξανθούς και όλους πρόσθεσέ τους...
Αν τώρα των μαυριδερών θέλεις να βρεις το πλήθος, πάρε από τους πολύχρωμους το τέταρτο,
το πέμπτο, μαζί με όλους τους ξανθούς, κι αμέσως πρόσθεσέ τους...
Για να βρεις τους πολύχρωμους που μένουνε θυμήσου, να πάρεις το έκτο, το έβδομο των
άσπρων και ακόμη πάρε τους ταύρους τους ξανθούς και πρόσθεσέ τους όλους.
Τις γελάδες για να βρεις σκέψου τα παρακάτω:
Πρώτα για να βρεις τις λευκές τις αγελάδες πάρε το τρίτο και το τέταρτο του κοπαδιού των
σκούρων.
Όλες τις σκούρες για να βρεις, που βόσκουν με τους ταύρους, πάρε από τις πολύχρωμες το
τέταρτο και πέμπτο.
Για να βρεις τις πολύχρωμες τις αγελάδες πάρε από το κοπάδι το ξανθό το πέμπτο και το έκτο.
Για να μετρήσεις τις ξανθές σκέψου πως ήταν τόσες όσο του τρίτου το μισό και το έβδομο
ακόμη αυτών του άσπρου κοπαδιού.
Αν λογαριάσεις ακριβώς χώρια το κάθε χρώμα τους, τους σαρκωμένους ταύρους μα και τις
αγελάδες τους, χώρια το κάθε χρώμα, θα 'σαι σοφός και όχι άσχετος στων αριθμών την
τέχνη...
Πρόσεξε όσα θα σου πω για του Ηλίου τους ταύρους:
Οι ταύροι οι λευκότριχοι σαν πήγαιναν και σμίγαν μαζί με τους μαυριδερούς τους ταύρους όλοι
αντάμα, γινόντουσαν ισόμετροι στο μάκρος και στο πλάτος, τετράγωνο σχημάτιζαν στης
Θρινακίας τους κάμπους...
Κι οι ταύροι οι πολύχρωμοι με τους ξανθούς παρέα σχημάτιζαν σαν στέκονταν τριγωνικό ένα
σχήμα και λιγοστεύαν βαθμηδόν και φτάνανε στον ένα, χωρίς μαζί να βρίσκονται ταύροι με
άλλο χρώμα κι ούτε από τους ταύρους μας αυτούς κανένας τους να λείπει....
Αν λογαριάσεις ξένε μου των κοπαδιών τα πλήθη, μπορεί να 'σαι περήφανος κι όπου κι αν πας
να ξέρεις πως κρίθηκες και νίκησες κι είσαι σοφός σπουδαίος...

Ευχαριστώ τον παλιό μου μαθητή,παίχτη και κυρίως φίλο Βασίλη Γαβριηλίδη που το ανακάλυψε στο mantri.gr

Δεν υπάρχουν σχόλια:

Δημοσίευση σχολίου

Related Posts Plugin for WordPress, Blogger...