Το τρολάρισμα των μαθηματικών και τα λάθη των αριθμομηχανών

Με αφορμή το post της φίλης Κατερίνας στο facebook και μια συζήτηση που αναπτύχθηκε σκέφτηκα να γράψω αυτό το αρθράκι.

Συχνά κυκλοφορούν στο internet τέτοια "μαγικά" ζητήματα περί μαθηματικών γρίφων, λαθών, παραδόξων κτλ. Στην πραγματικότητα είναι απλά μαθηματικά που δεν θα έπρεπε καν να απασχολούν τον κόσμο. Για να μπερδεύετε όμως όλος αυτός ο κόσμος, μάλλον κάτι λάθος κάνουμε εμείς οι μαθηματικοί που αφήνουμε τον κόσμο να αμφιταλαντεύεται για τόσο απλά ζητήματα.

Στην παραπάνω εικόνα βλέπετε ένα "δυσεπίλυτο ζήτημα" (αν είναι δυνατόν).

Τα μαθηματικά έχουν απλούς ΚΑΝΟΝΕΣ, οι οποίοι δε χρίζουν αμφισβήτησης από κανέναν. Είναι απλά ΚΑΝΟΝΕΣ. Ισχύουν είτε θέλουμε, είτε δεν θέλουμε, καθώς στα μαθηματικά φροντίζουμε να είναι κάθε τι ΚΑΛΑ ΟΡΙΣΜΕΝΟ.

Με ένα απλό γκουγκλάρισμα (sic) μπορούμε να δούμε όσοι ξεπεράσαμε την Α' Γυμνασίου ότι 

"Η προτεραιότητα τέλεσης των πράξεων, όπως χρησιμοποιείται στα μαθηματικά και σε πολλές από τις γλώσσες προγραμματισμού είναι:

1. εκφράσεις μέσα σε παρενθέσεις
2. δυνάμεις και ρίζες
3. πολλαπλασιασμοί και διαιρέσεις (με τη σειρά που εμφανίζονται στην έκφραση, αριστερά προς δεξιά)
4. προσθέσεις και αφαιρέσεις (με τη σειρά που εμφανίζονται στην έκφραση, αριστερά προς δεξιά)"

Συνεπώς στο πρόβλημα που ταρακούνησε το facebook των φίλων μου είναι πάρα πολύ απλά τα πράγματα καθώς έχουμε

6:2*(1+2)=                                                                                     - πράξεις στην παρένθεση -

6:2*3=                                                                                           -  διαίρεση 6:2=3                 -

3*3=                                                                                              - πολλαπλασιασμός 3*3=9 -

9

Προφανώς, ούτε το google κάνει λάθος, ούτε το excel κάνει λάθος, ούτε εγώ ο απόγονος του Cantor (είπα και μια βλακεία για να περάσει η ώρα) κάνω λάθος.

Καλώς ή κακώς τα μαθηματικά θέλουν φαντασία και τεχνικές, ΑΛΛΑ αυτό δε σημαίνει ότι μπορούμε να αγνοούμε τους κανόνες, τα θεωρήματα, τα αξιώματα και ότι άλλο ΙΣΧΥΕΙ ΠΑΝΤΑ.

Επίσης σε μια τόσο απλή αριθμητική παράσταση δεν μπορούμε να έχουμε δυο αποτελέσματα.

Μην πέφτετε στην παγίδα των διαφόρων troll, που δημιουργούν ιστορίες για αγρίους. (Λάμπρο Μαγκλάρα αν με διαβάζεις το Πυθαγόρειο ισχύει).

Το παραπάνω ποσταρισματάκι μου έχει καθαρά διασκεδαστικό και επιμορφωτικό χαρακτήρα.

Υ.γ. Oρφέα, Δανάη, Φώτη, Δημήτρη, Σωτήρη, Δημήτρη,  μπορείτε να ζητήσετε ένα δώρο από τις μαμάδες σας για το λάθος που έκαναν...ή μήπως να μην τις αφήσετε να βγουνε το Σάββατο καθώς δεν διαβάζουν?

Διαβάστε Περισσότερα »

HOW I CAME TO HATE MATH

HOW I CAME TO HATE MATH

Olivier Peyon / 100’ / 2013 / Γαλλία

                                                   

Μήπως πάντα μισούσατε τα μαθηματικά και πιστεύατε ότι είναι αδύνατο να γίνεται καλοί σ' αυτά; Θα μπορούσε να είναι αστείο, αν τα μαθηματικά δεν είχαν πάρει τέτοιες διαστάσεις στην κοινωνία: η Apple, η Google, η Goldman Sachs είναι ουσιαστικά αλγόριθμοι και μαθηματικοί τύποι. Πώς συνέβη τα μαθηματικά να έχουν χάσει το ενδιαφέρον τους, όταν σήμερα αποτελούν κινητήριο δύναμη στον σύγχρονο κόσμο;

Με την υποστήριξη του Γαλλικού Ινστιτούτο Ελλάδος.

Σε συνεργασία με το Μουσείο Ηρακλειδών.

10/2/2016, 20.00

Γαλλικό Ινστιτούτο Αθηνών (Σίνα 31)

14/2/2016, 16.00

Κινηματογράφος Δαναός (Κηφισίας 109)

Περισσότερα μπορείτε να βρείτε στο http://www.cinedoc.gr/

Διαβάστε Περισσότερα »

Ανακαλύφθηκε ο M74207281, ο μεγαλύτερος πρώτος αριθμός με 22.338.618 ψηφία!

To GIMPS "Great Internet Mersenne Prime Search" γιόρτασε την 20η επέτειό του, με την ανακάλυψη του μεγαλύτερου πρώτου αριθμού του 2^74.207.281-1. Ο Curtis Cooper, ένας από τους χιλιάδες εθελοντές του GIMPS, χρησιμοποίησε έναν από τους υπολογιστές του Πανεπιστημίου του για να προβεί στην ανακάλυψη αυτή. O πρώτος αριθμός αυτός που ονομάστηκε  M74207281 έχει  22.338.618 ψηφία, σχεδόν 5 εκατομμύρια ψηφία περισσότερα από τον προηγούμενο μεγαλύτερο πρώτο αριθμό τον M57885161.

Διαβάστε περισσότερα ΕΔΩ

Ευχαριστώ τον Αναπληρωτή Καθηγητή (και φίλο) Κ. Ραχώνη Γεώργιο  που "ανακάλυψε" την πηγή.

Διαβάστε Περισσότερα »

Μια άσκηση στα πολυώνυμα Β Λυκείου.

Μια άσκηση που είχα προτείνει παλιότερα στο ematha των φίλων και συναδέλφων Μούτσιου Γρηγόρη και Παρίση Γιώργου.Το link της άσκησης είναι ΕΔΩ.

Μπορείτε να βρείτε πλήθος πρωτότυπων ασκήσεων κατασκευασμένες από τους ίδιους με μεράκι και όχι απαραίτητα "προκάτ" ασκήσεις που κυκλοφορούν σε βοηθήματα.

Διαβάστε Περισσότερα »

Η ιστορία του Grigori Perelman

Ο μυστήριος κύριος Πέρελμαν

—του Γιώργου Θεοχάρη—

Μια ελληνική παροιμιώδης φράση λέει, «τον πλούτον πολλοί εμίσησαν, την δόξαν ουδείς». Για τους κυνικούς, ισχύει και το αντίστροφο: «την δόξαν πολλοί εμίσησαν, τον πλούτον ουδείς». Δεν μπορεί να διαφωνήσει κανείς ότι υπάρχουν (και υπήρξαν και θα υπάρξουν) κάποιοι (όχι πολλοί!) άνθρωποι που μισούν είτε τη δόξα είτε το χρήμα. Υπάρχει όμως κανείς που να τα μισεί και τα δύο; Ναι· τουλάχιστον ένας!

Ο Γκριγκόρι “Γκρίσα” Πέρελμαν (Григорий Перельман), γεννήθηκε το 1966 στο Λένινγκραντ (τη σημερινή –και προχθεσινή– Αγία Πετρούπολη) από Εβραίους γονείς. Η μητέρα του σπούδαζε μαθηματικά, αλλά τα παράτησε για να τον μεγαλώσει. Καθώς ο μικρός είχε προφανές ταλέντο στα μαθηματικά, τον έγραψαν σε ειδικό σχολείο με προχωρημένο πρόγραμμα στις θετικές επιστήμες. Ήταν αριστούχος στα πάντα, εκτός από τη γυμναστική. Το μέλλον του προοιωνιζόταν λαμπρό. Ήδη σκεφτόταν με όρους έρευνας. Σε μία από τις σπάνιες συνεντεύξεις του, στην εφημερίδα Κομσομόλσκαγια Πράβντα, ο Πέρελμαν διηγήθηκε ότι μικρός δοκίμασε να καταλάβει πώς ο Χριστός περπάτησε πάνω στο νερό: «προσπαθούσα να υπολογίσω την ταχύτητα που χρειάζεται για κάτι τέτοιο» (– Του φωτός ίσως;). Το 1982, ως μέλος της ομάδας της Σοβιετικής Ένωσης, κέρδισε το χρυσό μετάλλιο στη Διεθνή Μαθηματική Ολυμπιάδα για μαθητές γυμνασίων, με επίδοση 100%. Σπούδασε μαθηματικά στο πανεπιστήμιο του Λένινγκραντ (από τα καλύτερα της πρώην Σοβιετικής Ένωσης), απ’ όπου πήρε και το διδακτορικό του το 1992. Θέμα της διατριβής του: «Καμπύλες Επιφάνειες σε Ευκλείδειους Χώρους». (Το σχετικό γνωστικό πεδίο ονομάζεται Γεωμετρική Τοπολογία: «η μελέτη των συνόλων στα οποία μπορεί να οριστεί μια έννοια “κλειστότητας” έτσι ώστε να διακρίνεται η συνέχεια για οποιαδήποτε συνάρτηση ορίζεται σε αυτά». Βαθιά νερά!)

Στη συνέχεια, δούλεψε ως ερευνητής, πάντα στο Λένινγκραντ, στο Ινστιτούτο Μαθηματικών Στεκλόφ. Στο τέλος της δεκαετίας του ’80, τότε που χαλάρωσαν κάπως τα πράγματα με την Περεστρόικα, πήγε στις ΗΠΑ και δούλεψε, ως ερευνητής πάντα, σε διάφορα μεγάλα πανεπιστήμια, που του πρόσφεραν υποτροφίες και τις κατάλληλες συνθήκες shortδουλειάς. Όταν, το 1994, δημοσίευσε την απόδειξη μιας εικασίας της Ριμάνειας Γεωμετρίας (Soul Conjecture, το ποιητικό όνομα αυτής), οι προτάσεις για μόνιμη δουλειά έπεσαν βροχή (και μιλάμε από πανεπιστήμια όπως το Πρίνστον, το Στάνφορντ, τέτοια), αλλά ο Ρώσος τις απέρριψε όλες και το 1995 γύρισε στην Αγία Πετρούπολη (πλέον) για να δουλέψει και πάλι στο Ινστιτούτο Στεκλόφ. Μέχρι το 2002 έκανε κάποιες δημοσιεύσεις πάνω σε θεωρήματα της Ριμάνειας Γεωμετρίας, αλλά τίποτα το φοβερό. Το φθινόπωρο του 2002 ανάρτησε μία εργασία στο arXiv (ανοιχτή βάση δεδομένων για εργασίες των θετικών επιστημών) και άλλες δύο στις αρχές του 2003, όπου παρουσίαζε την καταφατική απόδειξη της Εικασίας του Πουανκαρέ. (Ο λόγος που διάλεξε να “χαρίσει” την απόδειξη μέσω Διαδικτύου, αντί να τη δημοσιεύσει σε κάποιο περίβλεπτο περιοδικό του χώρου ως είθισται, ήταν ότι είχε πρόβλημα με τα παιχνίδια εξουσίας που παίζονταν με αυτές τις δημοσιεύσεις, ήταν δηλαδή λόγος ηθικής τάξης. Επιπλέον, δεν αποκλείεται να θεωρούσε τους κριτές της δουλειάς του επιστημονικά κατώτερους από τον ίδιο – πράγμα που, κατά πάσα πιθανότητα, ήταν αλήθεια. Τέλος, όπως θα δούμε στη συνέχεια, ήταν πρακτικά δύσκολο να την υποβάλει σε περιοδικό, γιατί ήταν τεράστια για δημοσίευση και η επιβεβαίωσή της πήρε χρόνια.)

Και τι ήταν, εν πάση περιπτώσει, αυτή η Εικασία; Ο Γάλλος Ανρί Πουανκαρέ (1854-1912) υπήρξε μεγάλος μαθηματικός και θεωρητικός φυσικός, και φιλόσοφος της επιστήμης. Το 1904 διατύπωσε μία εικασία, η οποία, παρά τις επίμονες προσπάθειες πλήθους ερευνητών, έμεινε αναπόδεικτη για σχεδόν έναν αιώνα. Η διατύπωση της εικασίας: Κάθε συμπαγής πολλαπλότητα διάστασης n (όπου n ίσο ή μεγαλύτερο του 3) είναι ομοιομορφική με μία σφαίρα διάστασης n. (Είπαμε: βαθιά νερά, ακόμα κι αν ξέρεις κάποια μαθηματικά.) Πιο απλά: Ένα συμπαγές (χωρίς τρύπες – δηλαδή, όχι τα ντόνατ ή τα κουλούρια Θεσσαλονίκης, π.χ.) αντικείμενο τριών (ή περισσοτέρων) διαστάσεων είναι τοπολογικά ισοδύναμο με μία σφαίρα τριών (ή περισσοτέρων) διαστάσεων. [Ακόμα κι έτσι, ακατανόητο ακούγεται. Θα μπορούσε να πει κανείς απλουστευτικά ότι πρόκειται για τη μελέτη των γεωμετρικών ιδιοτήτων των αντικειμένων που δεν αλλάζουν όταν τεντώνονται, διαστρεβλώνονται ή συρρικνώνονται, αλλά αυτή η περιγραφή είναι τόσο γενική που τελικά δεν λέει τίποτα. Ας δοκιμάσουμε κάτι άλλο: Ας υποθέσουμε ότι ένα νοήμον ον (εξαιρείται ο Πέρελμαν!) περπατάει πάνω σε μία επιφάνεια. Έχει τρόπο να ξέρει αν αυτή η επιφάνεια είναι σφαιρική ή όχι; Μόνο αν έχει τη δυνατότητα να ανυψωθεί τόσο που να έχει εποπτεία της επιφάνειας. Όσο βρίσκεται πάνω στην επιφάνεια, όχι. Ο Πέρελμαν μας έδωσε τα μαθηματικά εργαλεία να ξέρουμε πότε μία επιφάνεια είναι σφαιρική –ή δυνάμει σφαιρική–, χωρίς να την έχουμε καν δει. (Μην βιαστεί κανείς να πει: «Ε, και; Ποια είναι η χρησιμότητα αυτής της γνώσης;» Οι εφαρμογές μιας απόδειξης που ουσιαστικά ταξινομεί όλα τα είδη των τρισδιάστατων –και όχι μόνο– υπαρκτών αντικειμένων είναι άπειρες, και σε τομείς που δεν χωράει ο νους. Άλλωστε, το τι είναι χρήσιμο και τι άχρηστο στις επιστήμες είναι μια άλλη πονεμένη ιστορία που θα απασχολήσει τη στήλη στο άμεσο μέλλον.)]

Το συνολικό κείμενο των τριών εργασιών που ανάρτησε ο Πέρελμαν στο arXiv.orgεκτίνεται σε 473 σελίδες (μολονότι έχει παραλείψει διάφορα βήματα, κατά τη γνώμη του αυτονόητα). Η μαθηματική κοινότητα χρειάστηκε τέσσερα χρόνια για να κάνει την επαλήθευση της απόδειξης. Τελικά, δεν βρέθηκε κανένα λάθος, αναπτύχθηκαν και τα βήματα που ο Πέρελμαν είχε αποσιωπήσει, και η απόδειξη κυκλοφόρησε στην πλήρη της μορφή σε έναν τόμο 1.000 σελίδων.

Στη συνέχεια, ο Πέρελμαν δέχτηκε προσκλήσεις από αρκετά αμερικανικά πανεπιστήμια, και το 2003 έκανε μία περιοδεία διαλέξεων, όπου μιλούσε για την απόδειξη. Στο τέλος της περιοδείας, γύρισε στη Ρωσία, για πάντα απ’ ό,τι φαίνεται. Το 2006 ήρθε η επίσημη επαλήθευση της απόδειξης (τρεις ανεξάρτητες ερευνητικές ομάδες των αμερικανικών πανεπιστημίων Μίσιγκαν, ΜΙΤ και Λιχάι δημοσίευσαν τρία διαφορετικά θετικά πορίσματα) και, όπως ήταν φυσικό, οι συνάδελφοί του θέλησαν να του αποδώσουν τιμές αντάξιες του επιτεύγματός του. Αμέσως μετά την επαλήθευση, ανακοινώθηκε ότι θα του απονεμηθεί το Μετάλλιο Φιλντς (το Νόμπελ των μαθηματικών: απονέμεται στο Διεθνές Συνέδριο της Διεθνούς Ένωσης Μαθηματικών κάθε 4 χρόνια σε 2-4 μαθηματικούς κάτω των 40 ετών, και συνοδεύεται από χρηματικό έπαθλο 15.000 δολαρίων Καναδά ), η ύψιστη διάκριση. Αλλά ο μυστήριος κύριος Πέρελμαν το αρνήθηκε! Έγινε έτσι ο πρώτος μαθηματικός που γύρισε την πλάτη του στο Ιερό Δισκοπότηρο των μαθηματικών. Ο Πρόεδρος της Ένωσης, Σερ Τζον Μπολ, πήγε στην Αγία Πετρούπολη για να τον πείσει να δεχτεί το μετάλλιο και μίλησε μαζί του 10 ώρες σε διάστημα 2 ημερών. Έφυγε άπρακτος. Ο Πέρελμαν συνόψισε τη δεκάωρη ταλαιπωρία του ως εξής: «[Ο Πρόεδρος] μου πρότεινε τρεις εναλλακτικές: να δεχτώ και να παρευρεθώ, να δεχτώ αλλά να μην παρευρεθώ και να μου στείλουν το μετάλλιο σπίτι, και να μην δεχτώ. Από την αρχή του είπα ότι έχω επιλέξει την τρίτη εναλλακτική. (…) Η βράβευση δεν μου λέει απολύτως τίποτα. Ο καθένας καταλαβαίνει ότι εάν η απόδειξη είναι σωστή, τότε δεν χρειάζεται καμία άλλη αναγνώριση». Η τελετή έγινε το 2006 στη Μαδρίτη, ερήμην του Πέρελμαν. Αργότερα, με αφορμή τη στάση του, δήλωσε: «Τα χρήματα και η δόξα δεν με ενδιαφέρουν. Δεν θέλω να με επιδεικνύουν σαν ζώο σε ζωολογικό κήπο. Δεν είμαι ήρωας των μαθηματικών. Δεν είμαι καν επιτυχημένος· γι’ αυτό δεν θέλω να βρεθώ εκεί πέρα και να κάθομαι να με κοιτάνε όλοι». Βέβαια, όσοι τον γνώριζαν δεν ξαφνιάστηκαν. Άλλωστε, το είχε ξανακάνει (το 1996 είχε αρνηθεί να παραλάβει το βραβείο της Ευρωπαϊκής Μαθηματικής Εταιρείας) και θα το ξανάκανε αργότερα, με ακόμα πιο εντυπωσιακό τρόπο.

Το 2000, το Ινστιτούτο Μαθηματικών Κλέι επέλεξε εφτά από τα άλυτα προβλήματα των μαθηματικών (μεταξύ των οποίων και η Εικασία του Πουανκαρέ) και όρισε έπαθλο ενός εκατομμυρίου δολαρίων Αμερικής, το αποκαλούμενο Βραβείο της Χιλιετίας, για όποιον καταφέρει να λύσει οποιοδήποτε από αυτά. Το 2010, το Ινστιτούτο θεώρησε ότι ο Πέρελμαν πληρούσε τους όρους για το βραβείο, αφού είχε λύσει πέραν πάσης αμφιβολίας ένα από τα εφτά προβλήματα, και του πρόσφερε το έπαθλο. Το οποίο, φυσικά, αρνήθηκε να εισπράξει! Με την ευκαιρία αυτή, δήλωσε σε δημοσιογράφο: «Ο βασικός λόγος της διαφωνίας μου είναι ο τρόπος που είναι οργανωμένη η μαθηματική κοινότητα. Δεν μου αρέσουν οι αποφάσεις τους, τις θεωρώ άδικες». (Αυτά από τον βραβευμένο, όχι από κάποιον πικραμένο.) Επίσης, στην προαναφερθείσα συνέντευξή του στην Κομσομόλσκαγια Πράβντα, είχε δηλώσει: «Γνωρίζω πώς να κυβερνήσω το σύμπαν· γιατί να τρέξω πίσω από ένα εκατομμύριο δολάρια;» (Δεν ξέρω αν η μετάφραση από τα ρωσικά είναι ακριβής, αλλά η δήλωση σηκώνει παρεξήγηση! Θα επανέλθω σε αυτήν στη συνέχεια.)

Ο Πέρελμαν είναι εκκεντρικός. Με τα μακριά μαλλιά και τα γένια (αλλά κι εκείνο το εμπύρετο βλέμμα) ανταποκρίνεται πλήρως στο στερεότυπο του “τρελού επιστήμονα”. Ζει με τη μητέρα σε ένα θλιβερό δυάρι στην Αγία Πετρούπολη. Λέγεται ότι δεν κάνει πια μαθηματικά (για να ενισχυθεί ο άγραφος νόμος που θέλει τους μεγάλους μαθηματικούς να “καίγονται” μετά τα 40). Το 2005, παραιτήθηκε από τη θέση του στο Ινστιτούτο Στεκλόφ, άρα τυπικά είναι άνεργος. Άνθρωποι που τον γνωρίζουν έχουν δηλώσει ότι πλέον του είναι επώδυνο ακόμα και να μιλάει για μαθηματικά. Αυτό που του αρέσει να κάνει, λέει, είναι βόλτες στο δάσος και να μαζεύει μανιτάρια. Σύμφωνοι, είναι εκκεντρικός. Αλλά τι ακριβώς σημαίνει αυτό; Συνάδελφοί του που τον γνώρισαν κατά την παραμονή του στις ΗΠΑ τον περιγράφουν ως ντροπαλό και λιγομίλητο, αλλά σε καμία περίπτωση δυσάρεστο ή επηρμένο. Με άλλα λόγια, σαν κάποιον που θέλει την ησυχία του. Έχει επιλέξει τη ζωή του ερημίτη. (Οι μεγαλοφυΐες, όπως θα έχετε ίσως διαπιστώσει, λίγο-πολύ την έχουν την πετριά τους.) Εντούτοις, άλλο εκκεντρικός, άλλο γραφικός. Και όμως, η κοινωνία (μέσω ή εξαιτίας των Μέσων) ασχολήθηκε υπέρμετρα μαζί του (πολλές οι αναφορές και στις ελληνικές εφημερίδες την εποχή των Μεγάλων Αρνήσεων) όχι για το έργο του, όχι για το μυαλό του, αλλά γιατί αρνείται τη δόξα και το χρήμα – πράγμα αδιανόητο στον δυτικό πολιτισμό του 21ου αιώνα!

Κανονικά, άλλο θα έπρεπε να μας ενδιαφέρει: Τα έχει όντως παρατήσει ο Πέρελμαν; Δεν είμαι βέβαιος – κανείς δεν μπορεί να είναι! Ένας δημοσιογράφος του περιοδικούThe New Yorker που προσπάθησε να του πάρει συνέντευξη το 2006, ισχυρίζεται ότι ο Πέρελμαν του είπε πίσω από την κλειστή (!) πόρτα του διαμερίσματός του: «Όσο δεν φαινόμουν, είχα επιλογές. Είτε να έκανα κάτι άσχημο [σημ.: αναφερόταν στη θλιβερή ιστορία της άδικης, όπως αποδείχθηκε, αμφισβήτησης της συμβολής του στη λύση της Εικασίας του Πουανκαρέ εκ μέρους των Κινέζων ερευνητών του Πανεπιστημίου Λιχάι] είτε, αν δεν έκανα κάτι τέτοιο, να μου φέρονται σαν να είμαι κατοικίδιο. Τώρα, με όλα τα φώτα στραμμένα πάνω μου, δεν μπορώ να παραμείνω κατοικίδιο και να μην λέω τίποτα. Γι’ αυτό αναγκάστηκα να παραιτηθώ». Ούτε κουβέντα για τα ίδια τα μαθηματικά· δεν αποκλείεται ο λόγος που “εξαφανίστηκε” να είναι αποκλειστικά ηθικός. Αυτό σημαίνει ότι ίσως και να συνεχίζει να δουλεύει μόνος του (άλλωστε, πάντα μόνος του δούλευε). Σε αυτό συνηγορεί κι εκείνη η αμφιλεγόμενη δήλωση για το σύμπαν που «γνωρίζω πώς να το κυβερνήσω». Δεν μπορεί να το εννοούσε έτσι όπως μεταφέρθηκε! Μήπως συμβαίνει κάτι άλλο; Η συνεισφορά του Πέρελμαν οδήγησε σε καλύτερη κατανόηση του χώρου, και μπορεί να βοηθήσει να μάθουμε το σχήμα του ίδιου του σύμπαντος. Επιστρέφοντας στην Αγία Πετρούπολη το 2003, πάνω σε αυτό είχε αφήσει να εννοηθεί ότι θα δούλευε από κει και πέρα. Μακάρι να είναι έτσι!

Πηγή: http://dimartblog.com/2015/12/12/grigori-perelman/

Διαβάστε Περισσότερα »

Ο μαθηματικός που ισχυρίζεται ότι απέδειξε το Τελευταίο Θεώρημα του Φερμά, αλλά κανείς δεν καταλαβαίνει πώς!

Στα μαθηματικά υπάρχουν υποθέσεις και εικασίες, σχεδόν αδύνατον να αποδειχτούν. Προβλήματα που παιδεύουν τους μαθηματικούς επί αιώνες, όπως το διάσημο Τελευταίο Θεώρημα του Φερμά.

Οταν κανείς δεν μπορεί να λύσει την εικασία που σκαρφίστηκε ο Γάλλος μαθηματικός πριν από 382 χρόνια, το πρόβλημα μετατρέπεται σε... μαθηματικός θρύλος. Τα τελευταία 3 χρόνια όμως, το «δυσκολότερο μαθηματικό πρόβλημα» όπως αναφέρει το βιβλίο Γκίνες, βρίσκεται ένα βήμα πιο κοντά στην λύση του. Ο δρόμος για την απόδειξη του ωστόσο, παραμένει ακόμα δύσβατος.

Μια απόδειξη... 500 σελίδων που αλλάζει τα δεδομένα στην Θεωρία Αριθμών – Το κλειδί για την λύση του Τελευταίου Θεωρήματος του Φερμά

Στις 30 Αυγούστου του 2012, ο Ιάπωνας μαθηματικός Shinichi Mochizuki δημοσίευσε στην προσωπική του ιστοσελίδα ένα σύνολο από περίπου 500 σελίδες. Χωρίς να ειδοποιήσει κάποιο ενημερωτικό μέσο, χωρίς να στείλει την δουλειά του απευθείας σε κάποιο επιστημονικό περιοδικό, ο γνωστός μαθηματικός ισχυριζόταν πως μέσα σε αυτές τις 500 σελίδες... χώρεσε η απόδειξη της περίφημης «Εικασίας ABC».

Η εικασία αυτή αποτελεί άλυτο πρόβλημα εδώ και 27 χρόνια, ενώ κανένας μαθηματικός δεν είχε φτάσει κοντά στην απόδειξη της. Αν η δουλειά του κ. Mochizuki αναγνωριστεί από την μαθηματική κοινότητα, ως ορθή, τότε μπορούμε να μιλάμε για (μακράν) το μεγαλύτερο κατόρθωμα μαθηματικού μέσα στον 21ο αιώνα. Ο τρόπος με των οποίο σήμερα μελετούμε τις εξισώσεις φυσικών αριθμών θα αλλάξει ολοκληρωτικά. Μαζί με αυτό όμως, θα βρεθεί η «μαγική» φόρμουλα ώστε να αποδειχτεί το Τελευταίο Θεώρημα του Φερμά.

«Αν αποδειχτεί σωστή, η απόδειξη της εικασίας ABC είναι ικανή να λύσει πάρα πολλές διοφαντικές εξισώσεις, αλλά και το Τελευταίο Θεώρημα του Φερμά» παραδέχτηκε ο Dorian Goldfeld, καθηγητής στο Μαθηματικό Τμήμα του Κολούμπια της Νέας Υόρκης.

Γιατί οι μαθηματικοί αδυνατούν να επαληθεύσουν τον κ. Mochizuki – Ο καθόλου συνεργάσιμος Ιάπωνας και η πρώτη οργανωμένη προσπάθεια

Η δυσκολία του προβλήματος όμως ακόμα «βασανίζει» τους μαθηματικούς, ακόμα και αν θεωρητικά υπάρχει η απόδειξη του. Αυτό διότι οι 500 σελίδες του Mochizuki είναι ακατανόητες από τους περισσότερους μαθηματικούς. Μέχρι σήμερα μόλις 4 έχουν καταφέρει να την παρακολουθήσουν ολόκληρη, ενώ κανείς δεν είναι σε θέση να εγγυηθεί την εγκυρότητα της. Η κακή γραφή του Mochizuki είναι ένα από τα προβλήματα. Αλλά το μεγαλύτερο εμπόδιο είναι πως οι περισσότεροι μαθηματικοί δεν μπορούν να ακολουθήσουν τον συλλογισμό του Ιάπωνα συναδέλφου τους.

Αλλά ακόμα και αυτοί που είναι ικανοί να αποκρυπτογραφήσουν τις ιδέες του, θεωρούν πως θα τους πάρει χρόνια η πλήρης επαλήθευση της. Η δουλειά του Mochizuki λοιπόν είναι ακόμα αμφισβητούμενη, λόγω αδυναμίας επαλήθευσης ή απόρριψης της.

Σε αυτό όμως συμβάλλει και ο ίδιος ο Ιάπωνας μαθηματικός, ο οποίος αρνείται να δώσει συνεντεύξεις σε μέσα ενημέρωσης έξω από την Ιαπωνία, αν και μιλάει άπταιστα Αγγλικά. Εχει πραγματοποιήσει μόλις ελάχιστες διαλέξεις, μόνο εντός της Ιαπωνίας.

«Για να καταλάβετε την απόδειξη πρέπει να διαγράψετε τους μαθηματικούς συλλογισμούς που έχετε συνηθίσει και θεωρείται δεδομένους εδώ και τόσα χρόνια» είχε τονίσει πρόσφατα προς τους συναδέλφους του, από τον προσωπικό του ιστότοπο. Είναι εμφανές ότι ο κ. Mochizuki δεν δείχνει διάθεση για συνεργασία, γεγονός που έχει προκαλέσει πολλές αντιδράσεις εντός της μαθηματικής κοινότητας.

Παρόλα αυτά από τον Δεκέμβριο του 2015 ξεκινάει η πρώτη οργανωμένη προσπάθεια, εκτός Ιαπωνίας, ώστε να βρεθεί... άκρη με αυτό το νέο γρίφο. Στους επόμενους μήνες θα συνταχτεί μια ομάδα μαθηματικών στην Οξφόρδη, ώστε να επαληθεύσει την απόδειξη του Mochizuki. Ο ίδιος ο Ιάπωνας, για ακόμα μια φορά, δεν στηρίζει άμεσα την προσπάθεια των συναδέρφων του. Δήλωσε πως σε όλη την διάρκεια θα παραμείνει στην Ιαπωνία, ενώ θα λύνει κάποιες απορίες μέσω Skype.

Κανείς δεν ξέρει τον λόγο που ο κ. Mochizuki διατηρεί αυτήν την αινιγματική στάση.

Θέλει να μιμηθεί τον Φερμά, που επίσης δεν έδωσε λύσει στην εικασία του επειδή ισχυρίστηκε πως... δεν χώραγε στις σημειώσεις του;

Θέλει να παραμείνει στην αφάνεια, για να μην την «πατήσει» όπως ο Πέρελμαν, όπου μετά την διάσημη απόδειξη του δεν άντεξε τα φλας των δημοσιογράφων;

'Η απλώς είναι ακόμα ένας... ημίτρελος μαθηματικός με πρόθεση να βάλει δύσκολα σε όλους τους συναδέρφους του;

Τι ακριβώς ισχυρίζεται η εικασία ABC; - Μια σχεδόν... απέλπιδα προσπάθεια κατανόησής της

Για την εικασία ABC, χρειάζεται η κατανόηση του όρου «μη-τετραγωνικός» αριθμός. Ενας τέτοιος αριθμός δεν μπορεί να διαιρεθεί ακριβώς με το τετράγωνο κάποιου αριθμού. Το 17 για παράδειγμα είναι «μη τετραγωνικός» αλλά το 18 δεν είναι, αφού 18/32 =2.

Σε οποιονδήποτε αριθμό, υπάρχει το «τετραγωνικό μέρος». Σε έναν τυχαίο αριθμό «α» το τετραγωνικό μέρος είναι ο μεγαλύτερος μη-τετραγωνικός αριθμός που μπορούμε να φτιάξουμε πολλαπλασιάζοντας παράγοντες του «α» που είναι πρώτοι αριθμοί. Στο 18 για παράδειγμα, που έχει παράγοντες τα 1,2,3,6,9,18, οι μόνοι πρώτοι είναι το 2 και το 3. Αρα το τετραγωνικό του μέρος ισούται με 2x3=6.

Η εικασία λοιπόν, ισχυρίζεται το εξής:

Αν πάρουμε τρεις ακέραιους αριθμούς a, b, c τέτοιους ώστε a + b = c και υπολογίσουμε το τετραγωνικό μέρος του γινομένου τους [a x b x c], τότε ο λόγος [axbxc]v/c έχει πάντα μια ελάχιστη τιμή μεγαλύτερη του μηδενός για κάθε τιμή του v μεγαλύτερη του 1.

Διαβάστε Περισσότερα »

Οι "αλήθειες" και οι παραδοχές των εταιριών δημοσκοπήσεων.

Μετά από πολύ καιρό που έχω ενημερώσω το blog μου, βρήκα αφορμή να το κάνω εξαιτίας μιας παραδοχής του κυρίου Δημήτρη Μαύρου (επικεφαλής της εταιρίας δημοσκοπήσεων MRB).

Αρχικά, με τον κύριο ούτε γνωριζόμαστε, ούτε έχω κάτι προσωπικό μαζί του. Ούτε φυσικά με την εταιρία στην οποία είναι επικεφαλής.

Στη συνέχεια, για όσους δε με ξέρουν δεν ανήκω με τίποτα σε κάποιον παραταξιακό χώρο.

Εν μέρει, είναι προς τιμήν του η παραδοχή της αποτυχίας των εταιριών δημοσκοπήσεων για τρίτη διαδοχική φορά. (Εθνικές εκλογές 2015 Ιανουαρίου, Σεπτεμβρίου και δημοψήφισμα ΝΑΙ και ΟΧΙ). Ο Αλέξης btw δεν έχει άλλη δουλειά να κάνει από το να μας τρέχει στις κάλπες.

Από την άλλη κύριε Μαύρο και οι λοιποί κύριοι, πόση σύμπτωση μπορεί να είναι τα επαναλαμβανόμενα λάθη ως προς την ίδια πλευρά?

Για να τα δούμε παρέα...

Εκλογες Ιανουαρίου 2015 

Δημοσκόπηση MRB

Τελικό αποτέλεσμα

Εκλογες Σεπτεμβρίου 2015 

Δημοσκόπηση MRB

Τελικό αποτέλεσμα

Δημοψήφισμα "ΝΑΙ/ΟΧΙ" 

Δημοσκόπηση MRB

Τελικό αποτέλεσμα

Τους λόγους γι αυτό το (επαναλαμβανόμενο) "στατιστικό λάθος" δε θα τους σχολιάσω. Ούτε πολιτικός αναλυτής είμαι, ούτε παραταξιακά  ανήκω κάπου.

Όμως κύριε Μαύρο, με το φτωχό μου το μυαλό και τα λίγα μαθηματικά που ξέρω, με συγχωρείτε αλλά 

• Τον Ιανουάριο προβλέψατε διαφορά 3,6 μονάδων και η διαφορά ήταν 8,5 μονάδες
• Το Σεπτέμβριο είδατε ντέρμπυ και η διαφορά ήταν 7,3μονάδες
• Στο δημοψήφισμα η οριακή επικράτηση ήταν εύστοχη, αν εξαιρέσετε τις 20,4 μονάδες διαφορά.

Δε σας λείπει κανένα μεθοδολογικό εργαλείο...αν ήταν σφάλμα 1-2 μονάδων να το δεχτώ...αλλά αυτο εξυπηρετεί συμφέροντα, θέλετε κόκκινα, θέλετε μπλε, αλλά συμφέροντα.

ΚΑΛΗΝΥΧΤΑ ΣΑΣ.

Υ.γ. Το παραπάνω κείμενο είναι αφιερωμένο στον παλιό μου μαθητή και φίλο Δημήτρη Πατσάλα που βαρέθηκε να βλέπει το cartoon του ΤΕΡΑΣΤΙΟΥ Grigory Perelman!

Διαβάστε Περισσότερα »

Ένα cartoon και η ιστορία του Perelman!

Σύμφωνα με το Science, η λύση από τον Πέρελμαν της Εικασίας του Πουανκαρέ, είναι το σημαντικότερο επίτευγμα του έτους 2006.

Η απόδειξη από τον αινιγματικό Ρώσο μαθηματικό Perelman Grigory, στην εδώ και εκατό χρόνια άλυτη Εικασία του Πουανκαρέ , προκάλεσε στον επιστημονικό κόσμο τεράστια αίσθηση και όχι μόνο λόγω της δυσκολίας της εργασίας. Τον Αύγουστο του 2006, ο Ρώσος Perelman έγινε το πρώτο πρόσωπο που αρνήθηκε το μετάλλιο Fields, το υψηλότερο βραβείο στα μαθηματικά.

Αρνήθηκε το βραβείο, ύψους 1.000.000 δολαρίων που του προσφέρθηκε από το αμερικανικό Ίδρυμα Μαθηματικών, επειδή δεν θεωρεί τους κριτές άξιους να κρίνουν τον ίδιο. Ο Perelman λέγεται ότι περιφρονεί την αυτοδιαφήμιση και περιγράφεται ως "ερημίτης", απομονωμένος από την υπόλοιπη μαθηματική κοινότητα.

Κι όπως λέει ένας συνάδελφος του δεν ενδιαφέρεται καθόλου για χρήματα. Το μεγάλο βραβείο για αυτόν ήταν να αποδείξει το θεώρημα. Μολονότι του πρόσφεραν θέσεις εργασίας σε πολλά κορυφαία πανεπιστήμια των ΗΠΑ, συμπεριλαμβανομένου του Princeton και του Stanford, εκείνοςαπέρριψε όλες τις προτάσεις. Εκτός από μεγαλοφυΐα στα μαθηματικά, η παράξενη αυτή διάνοια, είναι ένας ταλαντούχος βιολονίστας και επίσης ένα ισχυρός παίκτης πινγκ-πονγκ.

Ένα cartoon της ιστορίας αυτής είναι το παρακάτω.

Ο Πέρελμαν, γεννήθηκε στις 13 Ιουνίου του 1966 και φοίτησε σε σχολείο της Αγίας Πετρούπολης με ειδίκευση στα Μαθηματικά και τη Φυσική και σε ηλικία 16 ετών κέρδισε το χρυσό μετάλλιο στην Διεθνή Μαθηματική Ολυμπιάδα το 1982. Αφότου ολοκλήρωσε το διδακτορικό του στο Πανεπιστήμιο της Αγίας Πετρούπολης και εργάστηκε για λίγο στη Ρωσία, μετακόμισε στις ΗΠΑ. Πριν από περίπου δέκα χρόνια επέστρεψε στη Ρωσία, για να εργαστεί στην απόδειξή του για το σχήμα του Σύμπαντος. Καταδέχτηκε πάντως να περιγράψει την απόδειξη το 2003 στο Πανεπιστήμιο Πρίνστον.

Σε μια σπάνια συνέντευξη, ο Perelman είπε στο περιοδικό New Yorker : «Δεν μου είναι ξεκάθαρο ποια ήταν η συμβολή μου σ' αυτό που έκανα.»

Ο Perelman, ζώντας κατ’ επιλογήν του απομονωμένος, άφησε το Ίδρυμα Steklov τον Ιανουάριο, και τελευταία ειπώθηκε πως είναι άνεργος και ζει με τη μητέρα του στο διαμέρισμά της στην Αγία Πετρούπολη. Έχει μία μικρότερη αδελφή, την Έλενα, η οποία είναι επίσης μαθηματικός.

Η εργασία του - σχετικά με την Εικασία που διατύπωσε το 1904 ο Γάλλος μαθηματικός, φυσικός και φιλόσοφος Ζυλ Ανρί Πουανκαρέ, σχετικά με τα σχήματα που είναι δυνατόν να έχει το Σύμπαν - έχει δημιουργήσει στον χώρο των Μαθηματικών ενθουσιασμό μεν αλλά και διαμάχες.

Ο Terence Tao, καθηγητής των μαθηματικών στο πανεπιστήμιο της Καλιφόρνια στο Λος Άντζελες, αποκαλεί το αποτέλεσμα του Perelman σαν το «καλύτερο κομμάτι των μαθηματικών που έχουμε δει τα τελευταία 10 χρόνια».

Ο Timofey Shilkin, συνάδελφος του Perelman στο Ίδρυμα Μαθηματικών Steklov στην Αγία Πετρούπολη, λέει: «Αξίζει σίγουρα το μετάλλιο Fields - αυτή είναι η προσωπική μου άποψη. Είμαι απολύτως βέβαιος ότι είναι μεγαλοφυΐα.» Και πρόσθεσε: «Φοβούμαι ότι είναι ένα άτομο πολύ εσωστρεφές. Ξέρουμε πολύ λίγα πράγματα για τον ίδιο. Ξέρω μόνο ότι είναι άριστος μαθηματικός. Τον συνάντησα όταν ήταν μέλος της ομάδας μας και οι επαφές μας γίνονταν περίπου μια φορά την εβδομάδα, αλλά κάναμε πολύ σύντομες μόνο συζητήσεις».

Για αρκετά χρόνια εργάστηκε, ως επί το πλείστον, μόνο πάνω στην Εικασία του Πουανκαρέ. Όλες οι αποδείξεις που είχαν προταθεί ως σήμερα είχαν αποδειχθεί ψευδείς. Έπειτα από οκτώ χρόνια προσπαθειών, ο Perelman κατέληξε το 2002 σε μια απόδειξη 473 σελίδων στην οποία οι συνάδελφοί του δεν κατάφεραν να εντοπίσουν κανένα λάθος.

Επειδή ο Perelman έχει έρθει σε διάσταση με τους υπόλοιπους μαθηματικούς που ελέγχουν τα περιοδικά, γι’ αυτό και δεν έστειλε την εργασία του προς δημοσίευση σε ένα από τα έγκυρα μαθηματικά περιοδικά. Μια δημοσίευση σε αυτά θα ήταν αδύνατη, αφ’ ενός διότι οι εκδότες δεν θα τη δημοσίευαν, αφ’ ετέρου διότι ο ίδιος δεν ήθελε να καταστήσει κριτές του έργου του, ανθρώπους τους οποίους (υπεροπτικά ίσως) θεωρούσε κατωτέρους του. Οπότε χρησιμοποίησε το Διαδίκτυο και η σημαντική μελέτη του δεν έμεινε άγνωστη.

Μια από τις ελάχιστες φωτογραφίες του Grigory Perelman,  της πιθανόν σπουδαιότερης μαθηματικής μεγαλοφυΐας του 20ου αιώνα,  από συνεπιβάτη, που έτυχε να τον αναγνωρίσει στο μετρό της Πετρούπολης.

Μάλιστα δημοσίευσε μόνο τα βασικά σημεία της μελέτης του, χωρίς πλήρη και λεπτομερή απόδειξη. Πήρε 4 χρόνια κοπιαστικής δουλειάς στους υπόλοιπους, να κατανοήσουν και να ασχοληθούν με την απόδειξή του χωρίς να βρουν λάθος.

Η Εικασία Πουανκαρέ είναι ένα κεντρικό ζήτημα στην τοπολογία, τη μελέτη των γεωμετρικών ιδιοτήτων των αντικειμένων που δεν αλλάζουν όταν τεντώνονται, διαστρεβλώνονται, ή συρρικνώνονται.

Η επιφάνεια της Γης περιγράφεται ως δισδιάστατη σφαίρα από την τοπολογία. Εάν κάποιος την περικύκλωνε με ένα λάσο, θα μπορούσε να την αναγκάσει να περιοριστεί σε ένα σημείο. Στην επιφάνεια του ντόνατς, εν τούτοις, ένα λάσο που θα περνούσε μέσα από την τρύπα του στο κέντρο, δεν θα μπορούσε να το περιορίσει σε ένα σημείο χωρίς να κοπεί η επιφάνεια.

Για παράδειγμα η Εικασία του Πουανκαρέ καθορίζει ποια στερεά σώματα (ή πολλαπλότητες σε αφηρημένους μαθηματικούς χώρους άνω των τριών διαστάσεων) είναι ισοδύναμα, από τοπολογική άποψη με μια σφαίρα και ποια όχι.

Παραδείγματος χάριν, ένας κύβος από πλαστελίνη είναι ισοδύναμος με σφαίρα, αφού μπορούμε να τον πλάσουμε σαν σφαίρα, ενώ ένα ντόνατς δεν είναι, γιατί έχει μια τρύπα στη μέση.

Φαντασθείτε ότι έχετε ένα λάστιχο, ένα μήλο και ένα ντόνατς με τρύπα στη μέση. Αν τραβήξετε το λάστιχο και το τοποθετήσετε περιμετρικά γύρω από το μήλο, θα μπορείτε να μετακινήσετε το λάστιχο από τον «Ισημερινό» στον «Πόλο» του μήλου, χωρίς να σκίσετε το λάστιχο και χωρίς να εγκαταλείψετε την επιφάνεια του μήλου. Αν, όμως, το λάστιχο τοποθετηθεί πάνω στην επιφάνεια του ντόνατς, τότε δεν υπάρχει τρόπος να μετακινήσουμε το λάστιχο σε όλη την επιφάνεια του ντόνατς, χωρίς να το σκίσουμε ή το ένα ή το άλλο. Ο Πουανκαρέ υπέθεσε ότι κάτι ανάλογο συμβαίνει και στον τετραδιάστατο χώρο, ενώ σύγχρονοι Μαθηματικοί απέδειξαν ότι κάτι τέτοιο συμβαίνει και σε χώρο περισσοτέρων των τεσσάρων διαστάσεων.

O Πουανκαρέ χαρακτηρίσθηκε ως «Ο Τελευταίος Αναγεννησιακός Άνθρωπος», ένας Μαθηματικός που αισθανόταν άνετα σε κάθε τομέα των Μαθηματικών, όπως στην ανάλυση, την άλγεβρα, την τοπολογία, την αστρονομία και τη θεωρητική φυσική. Ο Γάλλος Μαθηματικός ήταν μεγάλος οραματιστής, που πρώτος εξέφρασε τη βασική αρχή της Θεωρίας του Χάους, ότι δηλαδή «μικρές διαφορές στις αρχικές συνθήκες προκαλούν μεγάλες διαφορές στο τελικό αποτέλεσμα».

Έλεγχος της εργασίας

Από το 19ο αιώνα, οι μαθηματικοί ξέρουν ότι η σφαίρα είναι το μόνο δισδιάστατο αντικείμενο με αυτήν την ιδιότητα, αλλά ήταν αβέβαιοι για τα αντικείμενα με περισσότερες διαστάσεις. Η Εικασία Πουανκαρέ λέει ότι μια τρισδιάστατη σφαίρα είναι ο μόνος περιβαλλόμενος τρισδιάστατος χώρος χωρίς οπές.

Την απόδειξη της Εικασίας την απέφευγαν οι μαθηματικοί έως ότου ταχυδρόμησε ο Perelman την εργασία του στον ιστοχώρο http://arxiv.org/

Ο ιστοχώρος αυτός, είναι ένας κεντρικός υπολογιστής, όπου οι ερευνητές ανεβάζουν τις εργασίες τους ως ηλεκτρονικές προδημοσιεύσεις στους τομείς των μαθηματικών, φυσικής, πληροφορικής, βιολογίας κ.λ.π. προτού τις δημοσιεύσουν σε ένα επιστημονικό περιοδικό.

Πάντως, κατά το περιοδικό Science του 2006 το πρώτο και κυριότερο επίτευγμα εκείνης της χρονιάς είναι η λύση Πέρελμαν. Το περιοδικό την παρουσιάζει πρώτη-πρώτη στη λίστα δέκα άλλων επιτευγμάτων και γράφει:

Πρώτο επίτευγμα:

"Η Εικασία του Πουανκαρέ. Ο απομονωμένος Ρώσος μαθηματικός Grigory Perelman έλυσε προφανώς το δύσκολο μαθηματικό πρόβλημα".

Διαβάστε Περισσότερα »

Για πρώτη φορά σε γυναίκα το κορυφαίο βραβείο Μαθηματικών Fields,το «Νόμπελ των Μαθηματικών»!

H ιρανικής καταγωγής μαθηματικός Mαριάμ Μιρζακχανί έγινε την Τετάρτη η πρώτη γυναίκα που τιμήθηκε με το βραβείο Fields, που ισοδυναμεί με το βραβείο Νόμπελ στον τομέα των μαθηματικών.

Η καθηγήτρια του πανεπιστημίου του Στάνφορντ στην Καλιφόρνια ήταν μεταξύ των τεσσάρων τιμηθέντων με το βραβείο Fields στο Διεθνές Συνέδριο των Μαθηματικών που πραγματοποιήθηκε στη Σεούλ και ταυτόχρονα έγινε η πρώτη γυναίκα ανάμεσα στους 56 νικητές από τότε που θεσπίστηκε το βραβείο, το 1936. 

«Αυτή είναι μια μεγάλη τιμή. Θα είμαι ευτυχής εάν ενθαρρύνει νέες γυναίκες επιστήμονες και μαθηματικούς», είπε η Μιρζακχανί σε δηλώσεις της που φιλοξενούνται στην ιστοσελίδα του πανεπιστημίου του Στάνφορντ. «Είμαι βέβαιη ότι θα υπάρξουν πολλές περισσότερες γυναίκες που θα κατακτήσουν αυτό το βραβείο τα επόμενα χρόνια», συμπλήρωσε. 

Η 37χρονη Μιρζακχανί γεννήθηκε στην Τεχεράνη και έζησε εκεί μέχρι που ξεκίνησε το διδακτορικό της στο περίφημο πανεπιστήμιο του Χάρβαρντ. Είπε ότι ονειρευόταν να γίνει συγγραφέας όταν ήταν νέα, αλλά ένιωθε και νιώθει μεγάλο ενθουσιασμό για την επίλυση μαθηματικών προβλημάτων. «Είναι διασκεδαστικό. Είναι σαν να λύνεις ένα παζλ ή σαν να συνδέεις τις τελείες σε μια αστυνομική περιπέτεια ένιωσα ότι αυτό ήταν κάτι που μπορούσα να το κάνω», ανέφερε.

Η Μιρζακχανί αναγνωρίστηκε για το έργο της στην κατανόηση της συμμετρίας των καμπύλων επιφανειών, σύμφωνα με την ιστοσελίδα του πανεπιστημίου του Στάνφορντ. Τα βραβεία απονέμονται κάθε τέσσερα χρόνια και δόθηκαν στους νικητές από την πρόεδρο της Νότιας Κορέας Παρκ Γκέουν –χε την πρώτη γυναίκα που κατέχει αυτό το αξίωμα στη χώρα της. 

koutipandoras

Διαβάστε Περισσότερα »

20 βιβλία μαθηματικής λογοτεχνίας που αξίζει να διαβάσετε

Ο κόσμος των μαθηματικών φαντάζει ως ένα σύμπαν ερμητικά κλειστό για τους μη μυημένους. Η μόδα όμως της «μαθηματικής λογοτεχνίας», συνέβαλε ώστε να ανατραπεί αυτό το στερεότυπο: όσοι δεν έχουν καλή σχέση με τους αριθμούς, μικροί και μεγάλοι, μπορούν να απολαύσουν ένα μαθηματικό μυθιστόρημα ή ένα βιβλίο που συμβάλει στην κατανόηση του μαγικού κόσμου των μαθηματικών.

"Ο Θείος Πέτρος και η εικασία του Γκόλντμπαχ" του Δοξιάδη Α.

Ο θείος Πέτρος είναι ένα αίνιγμα. Οι πρεσβύτεροι της οικογένειας Παπαχρήστου τον απορρίπτουν ως «αποτυχημένο της ζωής». Ωσότου ο αφηγητής-ανιψιός του ανακαλύπτει ότι ήταν κάποτε φημισμένος μαθηματικός, τόσο ιδιοφυής και παράτολμος ώστε να αφιερώσει τη ζωή του στην περιβόητη «Εικασία του Γκόλντμπαχ», ένα πρόβλημα που προσπαθούσαν εις μάτην να επιλύσουν γενεές μαθηματικών. Η ανακάλυψή του αυτή θα οδηγήσει σε αλυσιδωτές αντιδράσεις...

"Το θεώρημα του Παπαγάλου" του Ντενί Γκετζ

Τι σχέση μπορεί να έχει ένας παπαγάλος με τα μαθηματικά; Πώς μπορούν να συνεργαστούν ο παπαγάλος, ένας ηλικιωμένος πρώην βιβλιοπώλης, ένα κουφό αγόρι και τα ετεροθαλή δίδυμα αδέρφια του, διάνοιες στα μαθηματικά, στη διαλεύκανση ενός φόνου που συνέβη χιλιάδες χιλιόμετρα μακριά τους; Ποια θεωρήματα πρέπει να χρησιμοποιήσεις για να επιλύσεις τις ανεξιχνίαστες υποθέσεις της καθημερινής ζωής; Πόση λογοτεχνία μπορεί να χωρέσει σε μια εξίσωση;

"Το τελευταίο θεώρημα του Φερμά", του Simon Singh

Ένα γράμμα κάποιου φίλου από τα παλιά, ένα φορτίο πολύτιμων βιβλίων και ένας φλύαρος παπαγάλος έρχονται να κάνουν άνω κάτω την ήρεμη ζωή των ενοίκων της οδού Ραβινιάν στους πρόποδες της Μονμάρτης. Προσπαθώντας να εξιχνιάσουν τον περίεργο θάνατο του φίλου τους αναζητούν την λύση του μυστηρίου μέσα στις σελίδες μαθηματικών συγγραμμάτων.

Το 1637, ο Πιέρ ντε Φερμά, στο περιθώριο μιας σελίδας του αγαπημένου του βιβλίου «Αριθμητικά» του Διόφαντου, δίπλα σε ένα πρόβλημα, έγραψε: "Ανακάλυψα μια θαυμάσια απόδειξη, όμως το περιθώριο είναι πολύ μικρό για να την αναπτύξω". Με αυτήν τη φράση ο Φερμά έριξε το γάντι στις επόμενες γενιές. Το πρόβλημα ονομάστηκε "Θεώρημα του Φερμά" και μολονότι φαινόταν απλούστατο, επί 350 χρόνια, κανείς δεν μπορούσε να το επιλύσει. Πρόκειται για τη μυθιστορηματική εξιστόρηση μιας περιπετειώδους αναζήτησης που κόβει την ανάσα.

"Η παραβολή του ασώτου", του Γιάννη Καρβέλη

Ένα μυθιστόρημα που αποκαλύπτει στον αναγνώστη του, με τον πιο γοητευτικό τρόπο, τον αθέατο κόσμο των πολιτικοοικονομικών συναλλαγών.

"Οι άγριοι αριθμοί", του Philibert Schogt

Τι είναι τα μαθηματικά για τους παθιασμένους μαθηματικούς που αφιερώνουν τον εαυτό τους στην έρευνα; Τι συμβαίνει όταν το «Πρόβλημα των Άγριων Αριθμών» που ταλαιπώρησε για αιώνες τους μαθηματικούς βρίσκει ξαφνικά τη λύση του από δύο ανθρώπους στην ίδια πόλη; Στιγμή θριάμβου για τον κεντρικό ήρωα ή κλοπή της ιδέας του άλλου; Κι έχει όντως λυθεί το πρόβλημα; Ή η προσπάθεια επίλυσής του αποτελεί την ελπίδα και των δύο για να μην περάσουν την ιδιαιτέρως λεπτή διαχωριστική γραμμή μεταξύ ιδιοφυϊας και παραφροσύνης;

"Ο πόλεμος των μαθηματικών", Jason Socrates Bardi

Μέσα από τον "Πόλεμο των Μαθηματικών" αναδύεται, με τον πιο δραματικό τρόπο, το κλίμα, η ένταση και ο αχός μιας από τις πιο σπάνιες και πιο σημαντικές διαμάχες στην ιστορία της επιστήμης: τα Μαθηματικά της Μεγάλης Βρετανίας (Νεύτωνας) ενάντια στα Μαθηματικά της Γερμανίας (Λάιμπνιτς). Πρόκειται για τη μνημειώδη σύγκρουση δύο Σχολών Διανόησης που εκπροσωπούνταν από δύο λαμπρές προσωπικότητες, δύο περήφανους ανθρώπους, δύο κορυφαίους μαθηματικούς, δύο παράξενους χαρακτήρες.

"Logicomix", του Δοξιάδη Α.

Δανείζοντας το ρόλο του παραμυθά στο φιλόσοφο Μπέρτραντ Ράσελ, μια παρέα φίλων στη σύγχρονη Αθήνα προσπαθεί ταυτόχρονα να αφηγηθεί και να καταλάβει τη μεγάλη περιπέτεια της Λογικής στις αρχές του 20ού αιώνα, περιπέτεια που σημάδεψε ανεξίτηλα την εποχή μας. Είναι άραγε, όπως λέει ένας από αυτούς, μια ιστορία τραγική, μεγέθους μάλιστα αρχαίας τραγωδίας; Ή, όπως πιστεύει ένας άλλος, μια εντελώς αισιόδοξη περίπτωση; Στο Logicomix οι αποστάσεις καταργούνται: από τα μυστικά που κρύβει η σοφίτα ενός παλιού εγγλέζικου αρχοντικού μέχρι τη σκοτεινή όψη της πιο βαθιάς φιλοσοφικής αλήθειας, κι από εκεί ως την καρδιά ενός σύγχρονου κομπιούτερ, ίσως να μην είναι παρά μερικά, ελάχιστα βήματα...

"Ποιος σκότωσε τον κύριο Χ;", του Θοδωρή Ανδριόπουλου

Υπάρχουν αλάνθαστοι δολοφόνοι; Μπορεί κανείς να διαπράξει το τέλειο έγκλημα; Το 1900 στο Παρίσι, σε ένα από τα σπουδαιότερα συνέδρια των μαθηματικών, δολοφονείται ο φημισμένος Καθηγητής Χ. Οι κορυφαίοι μαθηματικοί όλων των εποχών θεωρούνται ύποπτοι. Ποιος, τελικά, σκότωσε τον Καθηγητή Χ; Θα αποκαλυφθεί η αλήθεια; Βραβευμένο με το 3ο Βραβείο στο 6ο Πανευρωπαϊκό Forum Πρωτοπόρων Καθηγητών του Προγράμματος Συνεργάτες στη Μάθηση της εταιρείας Microsoft.

"Η αφοσίωση του υπόπτου Χ", του Keigo Higashino

Ένας φόνος. Ένας μαθηματικός που επιχειρεί να στήσει το τέλειο άλλοθι. Ένα σκοτεινό παιχνίδι στρατηγικής με απίστευτους ελιγμούς παραπλάνησης και απρόβλεπτη κατάληξη. Ένας ιστός που υφαίνεται αριστοτεχνικά και μοιάζει άτρωτος... μέχρι να εμφανιστεί ο τέλειος αντίπαλος. Όταν η Γιασούκο σκοτώνει τον πρώην άντρα της προσπαθώντας να υπερασπιστεί τον εαυτό της και τη ζωή τής έφηβης κόρης της, ο αινιγματικός της γείτονας Ισιγκάμι, ένας ευφυής καθηγητής Μαθηματικών βαθιά αφοσιωμένος σε αυτή, προσφέρεται να τη βοηθήσει να σκηνοθετήσει ένα ακλόνητο άλλοθι. Μόνο που δεν είχε υπολογίσει έναν αστάθμητο παράγοντα... Την εμπλοκή στην υπόθεση ενός παλιού του συμφοιτητή, του δρ. Γιουκάβα, ενός πανέξυπνου καθηγητή Φυσικής με το παρατσούκλι "Ντετέκτιβ Γαλιλαίος". Με σφιχτή πλοκή και κοφτερή γραφή, με τη μια ανατροπή να διαδέχεται την άλλη και με χαρακτήρες που παραμένουν στο μυαλό του αναγνώστη για πολύ καιρό μετά την ανάγνωση της τελευταίας σελίδας, Η αφοσίωση του Υπόπτου Χ αποδεικνύει γιατί ο Keigo Higashino είναι ο πλέον δημοφιλής συγγραφέας της σύγχρονης Ιαπωνίας.

"Ο μέτοικος και η συμμετρία", του Τεύκρου Μιχαηλίδη

"Ο μέτοικος και η συμμετρία" θα μας ταξιδέψει από το Αντάπαζαρ της Μικρασίας στην Ιταλία του μεσοπολέμου, στην Ισπανία του Εμφυλίου και, τέλος, στη Γαλλία της Κατοχής και της Αντίστασης. Ο κεντρικός του ήρωας θα γνωριστεί με σημαντικές προσωπικότητες του εικοστού αιώνα, όπως ο χαράκτης Έσερ και ο μαθηματικός Αλεξάντρ Γκρόθεντικ, με τους οποίους μοιράζεται το πάθος για τη συμμετρία, την οποία ο καθένας τους αντιλαμβάνεται με διαφορετικό τρόπο. Θα γνωρίσει από κοντά και θα διαβάσει με κριτική ματιά το κίνημα των Μπουρμπακί, το σημαντικότερο ίσως μαθηματικό ρεύμα του καιρού μας, και σίγουρα αυτό που άσκησε τη μεγαλύτερη επίδραση. Θα χρησιμοποιήσει τον μαθηματικό ορθολογισμό ως εργαλείο ανάλυσης ιστορικών γεγονότων, πολιτιστικών ρευμάτων, αλλά και φαινομένων της καθημερινότητας. Στο νέο μυθιστόρημα του Τεύκρου Μιχαηλίδη, οι μυθοπλαστικοί χαρακτήρες και τα ιστορικά πρόσωπα συναντιούνται και αλληλεπιδρούν, χτίζοντας μια ιστορία που θα μπορούσε να διαβαστεί και ως ένα χρονικό του εικοστού αιώνα.

"Ο ταξιδευτής των μαθηματικών" του Calvin Clawson

Ο Κάλβιν Κλόουσον εξερευνά την εντυπωσιακή ιστορία των αριθμών ως μια πορεία συνυφασμένη με την περιπέτεια της ανθρώπινης ύπαρξης. Αναρωτιέται πόσο παλιά είναι η αρίθμηση και πώς αποτυπώθηκε την πρώτη φορά. Περιγράφει τις ράβδους με εγκοπές, τα σκοινιά με κόμπους και τις πήλινες μάρκες που χρησιμοποιούσαν οι αγρότες για το μέτρημα. Αναφέρεται στις πρώτες καταγραφές αριθμών από τους κατοίκους της Μεσοποταμίας και τους Αιγιπτίους, και παρουσιάζει το ινδοαραβικό σύστημα αρίθμησης. Ξεκινά από τους φυσικούς αριθμούς και φτάνει μέχρι την έννοια του απείρου. Περιγράφει τις σημαντικότερες εξελίξεις στον τομέα των μαθηματικών και αναλύει τη σχέση τους με άλλες επιστήμες. Διερωτάται, τέλος, πόσο μπορεί να προχωρήσει η ανθρώπινη ευφυϊα ανακαλύπτοντας νέα, πιο εξελιγμένα μαθηματικά.

"Ο άνθρωπος που μετρούσε την άμμο" του Gillian Bradshaw

O νεαρός λόγιος Αρχιμήδης περνάει τα τρία καλύτερα χρόνια της ζωής του στο Μουσείο του Πτολεμαίου, στην Αλεξάνδρεια. Εκεί μιλάει και σκέφτεται όλη μέρα, μοιράζεται ιδέες και πληροφορίες με τα μεγαλύτερα μυαλά του κόσμου και νιώθει πως βρίσκεται στον παράδεισο. Όταν όμως μαθαίνει ότι ο πατέρας του είναι άρρωστος και οι Συρακούσες, η γενέθλια πόλη του, είναι σε πόλεμο με τους Ρωμαίους, αναγκάζεται να γυρίσει πίσω και να δουλέψει ως βασιλικός μηχανικός επιφορτισμένος με την κατασκευή καταπελτών. Στην πολιορκημένη πόλη θα βρει φήμη και απώλεια, έρωτα και πόλεμο, πλούτο και προδοσία - τίποτα απ αυτά όμως δεν τον συγκινεί τόσο, όσο η θεία ομορφιά των μαθηματικών.

"Το πειραχτήρι των αριθμών" του Enzensberger, Hans - Magnus

ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ! Για όνομα του Θεού! Και μόνο που το σκέπτεσαι, σε πιάνει τρέλα! Το ίδιο και το φίλο μας τον Ρόμπερτ. Ώσπου ένα βράδυ βλέπει ένα παράξενο όνειρο. Ένα μυστήριο, νευρικούλι, διασκεδαστικό, πανέξυπνο Πειραχτήρι των Αριθμών αρχίζει να κάνει, σαν ταχυδακτυλουργός, κόλπα με τους αριθμούς. Για 12 νύχτες, το Πειραχτήρι έρχεται στα όνειρά του, με τρόπο τόσο συναρπαστικό και διασκεδαστικό, ώστε φωτάκια αρχίζουν ν ανάβουν στο μυαλό του Ρόμπερτ - και των αναγνωστών. Όταν το βιβλίο τελειώνει, ένα είναι σίγουρο! Όχι, τα Μαθηματικά δεν είναι καθόλου, μα καθόλου εφιάλτης. Το Πειραχτήρι δεν έχει παρά να κουνήσει το μπαστούνι του και, ωπ! ο φόβος για τα Μαθηματικά έχει κιόλας εξαφανιστεί!

"e: Η ιστορία ενός αριθμού", Eli Maor

«Ο Maor αφηγείται με θαυμάσιο τρόπο την ιστορία του e. Μέσω της χρονολιγκής εξιστόρησής του, μαθαίνουμε για τη ζωή των ανθρώπων που συμμετείχαν στη μελέτη αυτού του καταπληκτικού αριθμού, από τον Αρχιμήδη ώς τον David Hilbert. Παρουσιάζοντας τα μαθηματικά μέσω των δημιουργών τους, ο Maor θέτει το αντικείμενο στη σωστή του βάση -στο κέντρο της ανθρώπινης δραστηριότητας».

"Άλγεβρα, ο άγνωστος Χ", Kjartan Poskitt

Μήπως τα μαθηματικά σάς προκαλούν μελαγχολία; Μήπως σας αναστατώνει η άλγεβρα και σας σαστίζουν οι τύποι και τα σύμβολα; Μήπως οι εξισώσεις σας κάνουν να τρέμετε; Μην ανησυχείτε. Ο μυστηριώδης πράκτορας "Άγνωστος Χ" είναι εδώ για να διώξει τις αγωνίες σας μια για πάντα.

"Ανακαλύπτω τα μαθηματικά", Vorderman, Carol

Γραμμένο από την Carol Vorderman, μια από τις εξέχουσες προσωπικότητες της βρετανικής τηλεόρασης, αυτό το βιβλίο είναι μια συναρπαστική ξενάγηση στο θαυμαστό κόσμο των μαθηματικών με διαφωτιστικά πειράματα για όλη την οικογένεια. Εκατοντάδες πειράματα που σας βοηθούν να ανακαλύψετε μόνοι σας τι κρύβεται πίσω από τις θεμελιώδεις αρχές των μαθηματικών. Φτιάξτε το δικό σας «οικιακό εργαστήριο» με υλικά και όργανα καθημερινής χρήσης. Έγχρωμα φωτογραφικά στιγμιότυπα και λεπτομερείς οδηγίες παρουσιάζουν βήμα προς βήμα τον τρόπο εκτέλεσης του κάθε πειράματος.

"Εξηγώντας τα μαθηματικά στις κόρες μου" , της Ντενί Γκετζ

Πώς θα μπορούσε να πείσει ένας πατέρας την κόρη του σε τι χρησιμεύουν τα μαθηματικά; Μέσα από απολαυστικούς διαλόγους ο διάσημος Γάλλος μαθηματικός και συγγραφέας του παγκόσμιου best seller To θεώρημα του παπαγάλου Ντενί Γκετζ μας προσκαλεί να γνωρίσουμε αυτό το μάθημα όλο ΠΡΟΒΛΗΜΑΤΑ, γεμάτο με ΑΓΝΩΣΤΟΥΣ, όπου σε περικυκλώνουν ΚΑΝΟΝΕΣ. Ο συγγραφέας διατυπώνει ερωτήματα που όλους λίγο πολύ μας έχουν απασχολήσει: Για τι πράγμα μιλούν τα μαθηματικά; Σε τι χρησιμεύουν στη ζωή; Υπήρχαν πάντα αριθμοί; Τι πρέπει να κάνω για να λύσω ένα πρόβλημα; Γιατί πρέπει να μαθαίνουμε απέξω τους τύπους; Γιατί είναι τόσο σημαντικό το Πυθαγόρειο θεώρημα; Ποια είναι η αξία του αριθμού π; Γιατί οι μαθηματικοί είναι στον κόσμο τους;

"Ο πρίγκιπας των μαθηματικών" , Καρλ Φρίντριχ Γκάους

Είναι ένα συναρπαστικό μαθηματικό μυθιστόρημα: ταυτίζεται με μια αληθινή αυτοβιογραφία, την οποία ο Γκάους δεν είχε ποτέ την ευκαιρία να γράψει. Ιστορικά τεκμηριωμένο, ευχάριστο και προσιτό σε όλους, μεταδίδει με μοναδικό τρόπο τη γοητεία των μαθηματικών.

"Πώς τα μαθηματικά εξηγούν τον κόσμο", του James D. Stein

Για τους περισσότερους ανθρώπους τα μαθηματικά είναι γοητευτικά μεν αλλά…δυσνόητα. Στο βιβλίο αυτό ο καθηγητής Στάιν καταφέρνει να τα εξηγήσει με τρόπο διαυγή, φιλικό και διασκεδαστικό. Ξεκινά με τις συναρπαστικές ιστορίες των ανθρώπων που συνέλαβαν τις σημαντικότερες μαθηματικές ιδέες και έννοιες, από την αρχαιότητα μέχρι σήμερα. Μέσα από τις επιτυχίες και τις αποτυχίες τους, τις αυταπάτες και τις συχνές διαμάχες τους, εξυφαίνεται η ιστορία των μαθηματικών και ο αντίκτυπός τους στην κοινωνία. Η κβαντική μηχανική, ο χωρόχρονος, η θεωρία του χάους και η λειτουργία των πολύπλοκων συστημάτων, καθώς και το ανέφικτο της «τέλειας» δημοκρατίες είναι όλα εδώ. Όπως είναι επίσης ο καλύτερος τρόπος για να σχεδιάσει ένας πωλητής το ταξίδι του, γιατί οποιαδήποτε σκέψη κι αν κάνετε εμπεριέχεται στον αριθμό π, και γιατί τα συνεργεία δεν μπορούν ποτέ να επισκευάσουν το αυτοκίνητό σας τη μέρα που σας το υποσχέθηκαν.

"ΥΠΟΘΕΣΗ ΡΙΜΑΝ , Η εμμονή με τους πρώτους αριθμούς" , του John Derbysire

Η «Υπόθεση Ρίμαν» είναι η συναρπαστική ιστορία του ανηλεούς κυνηγητού για μια άπιαστη μαθηματική απόδειξη - καθώς και των ανθρώπων που σπατάλησαν τη ζωή τους για χάρη της.

"Ποιός σκότωσε το σκύλο τα μεσάνυχτα", του Μαρκ Χάντον

Ο Κρίστοφερ Μπουν είναι ένας παράξενος νέος και το μυαλό του δουλεύει με τρόπο ιδιαίτερο. Ξέρει πάρα πολλά για τα μαθηματικά και πολύ λίγα για τους ανθρώπους. Του αρέσει να φτιάχνει χάρτες και σχεδιαγράμματα, λατρεύει τα αστυνομικά μυθιστορήματα και το κόκκινο χρώμα. Δεν του αρέσει το κίτρινο και το καφέ, δεν αντέχει να τον αγγίζουν και δεν μπορεί να πει ψέματα. Ένα βράδυ βρίσκει νεκρό το σκύλο της γειτόνισσάς του κι αποφασίζει να ξεδιαλύνει το μυστήριο. Η αναζήτησή του όμως θα τον παρασύρει σε μονοπάτια δύσβατα, που οδηγούν στη χαμένη από καιρό μητέρα του. Καλείται τώρα να ξεδιαλύνει άλλα μυστήρια, αυτά του κόσμου των μεγάλων, πολύ πιο περίπλοκα από το απλό «Ποιος σκότωσε το σκύλο»... Ένα εκπληκτικό σε σύλληψη μυθιστόρημα, που ρίχνει φως και στις πιο λεπτές εκφάνσεις του κόσμου γύρω μας. Το μυθιστόρημα αυτό ξεχειλίζει από χιούμορ και λεπτή ειρωνεία. Το αποτέλεσμα είναι ένα αποκαλυπτικό έργο, μια μοναδική και επιβλητική λογοτεχνική φωνή.

__________________________________________

Πηγές:   protoporia.gr ,  mathematica.gr/forum ,  thalesandfriends.org

by Αντικλείδι , http://antikleidi.com

Διαβάστε Περισσότερα »