Το κίβδηλο νόμισμα

Έχουμε ένα νόμισμα το οποίο δεν έχει ισομοιρασμένο το βάρος του, οπότε η πιθανότητα κορώνα/γράμματα δεν είναι ίση (έστω p η μια απο τις δύο πιθανότητες ,p<1 αυστηρά μικρότερο).

Πως μπορούν δύο φίλοι να μπορούν να παίξουν κορώνα/γράμματα, δίκαια πια? (χρησιμοποιώντας το κίβδηλο νόμισμα...)

Διαβάστε Περισσότερα »

Το κάλπικο νόμισμα

Έχουμε 12 νομίσματα με 1 από αυτά είναι κάλπικο. Το κάλπικο μπορεί να είναι είτε βαρύτερο είτε ελαφρύτερο από τα άλλα, δεν ξέρουμε τι. Για να βρούμε το κάλπικο μας δίνουν μια απλή ζυγαριά, χωρίς μέτρηση βάρους απλά να βλέπουμε την ισορροπία. Με 3 ζυγίσεις το πολύ βρες το κάλπικο νόμισμα και πες αν είναι ελαφρύτερο ή βαρύτερο.

Διαβάστε Περισσότερα »

Ο Αρχιμήδης και το βοεικό πρόβλημα

Ο Αρχιμήδης (287-212 π.Χ.) ήταν αναμφισβήτητα ο μεγαλύτερος μαθηματικός της αρχαιότητας και ένας από τους σημαντικότερους όλων των εποχών. Η συμβολή του στα μαθηματικά είναι ποικίλη. Πρωτίστως, επινόησε μεθόδους αντίστοιχες του ολοκληρωτικού λογισμού των Λάιμπνιτς και Νεύτωνα, βελτιώνοντας τις μεθόδους του Ευδόξου, τις οποίες εφάρμοσε για τον προσδιορισμό εμβαδών και όγκων διαφόρων σχημάτων. Δεύτερον ασχολήθηκε με τη θεωρητική και εφαρμοσμένη μηχανική, αλλά με την αστρονομία στις οποίες είχε αξιόλογη συμβολή. Τέλος, άφησε διάφορα άλλα σημαντικά μαθηματικά κείμενα, συμπεριλαμβανομένης της περίφημης «Εφόδου».
Είναι γνωστό, ότι ο Αρχιμήδης συνήθιζε να στέλνει επιστολές από τις Συρακούσες όπου ζούσε προς στους μαθηματικούς της Αλεξάνδρειας. Μερικές από αυτές τις επιστολές περιείχαν τις εκφωνήσεις νέων, δικών του, θεωρημάτων, αλλά δεν συνοδευόντουσαν και από τις αποδείξεις τους. Η αιτία ήταν γιατί ήθελε να δώσει την ευκαιρία στους μαθηματικούς να τις διερευνήσουν πριν τους στείλει, αργότερα, το νέο του κάθε φορά βιβλίο με τις αποδείξεις. Παραδείγματος χάριν στο πρόλογο του «Περί Ελίκων» του γράφει προς τον φίλο του μαθηματικό Δοσίθεο αναφερόμενος σε παλαιότερη επιστολή προς τον Κόνωνα, ο οποίος δεν ζούσε πια, τα εξής (σε ελεύθερη απόδοση):
«Τα θεωρήματα που έστειλα προς τον Κόνωνα, για τα οποία πάντοτε με παρότρυνες να γράψω τις αποδείξεις [...] σου τις στέλνω αφού τις έγραψα σ’ αυτό το βιβλίο. Μην απορήσεις όμως εάν μου πήρε πολύ χρόνο να δημοσιεύσω τις αποδείξεις τους γιατί συνέβη το εξής, ήθελα πρώτα να τις δώσω σε εκείνους τους ενασχολούμενους με τα μαθηματικά οι οποίοι επιθυμούσαν να τις διερευνήσουν (δια το βούλεσθαί με πρότερον διδόμεν τοις περί τα μαθήματα πραγματευομένοις και μαστεύειν αυτά προαιρουμένοις).
Τα προβλήματα που έστελνε ο Αρχιμήδης στις επιστολές του ήταν πολύ δύσκολα. Απλή εξέταση όσων εξ αυτών έφτασαν μέχρι τις μέρες μας, και είναι αρκετά, μας πείθει για του λόγου το αληθές. Άλλωστε συχνά αναφέρει ο ίδιος στα κείμενά του ότι τα προβλήματα που είχε στείλει κάποια προηγούμενη φορά κανείς δε φαίνεται να τα έλυσε. Λόγου χάριν στο «Περί Ελίκων», λίγο πριν γράψει τις λύσεις, αναφέρει «[...] αφού πέρασαν πολλά χρόνια και δεν πληροφορήθηκα ότι επιλήφθηκε κανείς των προβλημάτων, επιθυμώ να σου εξηγήσω το καθένα [...]»
Ο Αρχιμήδης γνώριζε ότι αντιμετώπιζε σοβαρότατα προβλήματα με την εντιμότητα των συναδέλφων του μαθητικών της Αλεξάνδρειας και τα αντιμετώπιζε, στήνοντας διάφορες παγίδες ...
συγκεκριμένα, όπως γράφει ο ίδιος, για μερικά θεωρήματα δεν διατυπώνει την σωστή απάντηση γιατίορισμένοι έχουν την κακή συνήθεια να σφετερίζονται τα θεωρήματά του, λέγοντας ότι τα απέδειξαν οι ίδιοι στο παρελθόν. Γράφει χαρακτηριστικά ότι «[...] διότι συμβαίνει δύο από τα θεωρήματά μου να τα έχω προσθέσει εδώ εσφαλμένα, ώστε αυτοί που ισχυρίζονται ότι τα έχουν βρει όλα, χωρίς όμως να παρουσιάζουν και κάποια απόδειξη, να ελέγχονται ότι ευρίσκουν τα αδύνατα». Και αποκαλύπτει την πονηριά του μόνον αργότερα, όταν στέλνει τις λύσεις στα προβλήματά του.

Ένα από τα τεχνάσματά ενσωμάτωσε σε ένα πρόβλημα, το λεγόμενο βοεικό, το οποίο απέστειλε στη μορφή ποιήματος σε ελεγειακό μέτρο στον φίλο του Ερατοσθένη για τους Αλεξανδρινούς μαθηματικούς.

Το πρόβλημα ζητά να βρεθεί το πλήθος βοδιών και αγελάδων ενός κοπαδιού, από κάποια απλά αριθμητικά δεδομένα. Ένας έμπειρος μαθηματικός δεν έχει καμία δυσκολία να καταστρώσει γρήγορα τις εξισώσεις από τα επιτάγματα του προβλήματος. Όμως ο Αρχιμήδης αναφέρει στους τελευταίους στίχους του ποιήματος ότι «αν καταφέρεις, ξένε, να εκφράσεις όλα τα μεγέθη των πληθών, πήγαινε υπερηφανευόμενος ότι αναδείχθηκες νικητής γνωρίζοντας ότι κρίθηκες τέλειος σε αυτού του είδους την σοφία (δηλαδή στην ικανότητα με τους αριθμούς)».
Ο τελευταίος αυτός στίχος φαίνεται προκλητικός. Είναι σαν να λεει ο Αρχιμήδης ότι δεν θα τα καταφέρει ο λύτης. Πού όμως έγκειται η δυσκολία; Αυτό που δεν αντιλαμβάνεται ο ανυποψίαστος επίδοξος λύτης είναι ότι ο Αρχιμήδης επέλεξε με τέτοια μαεστρία τα δεδομένα του προβλήματος ώστε η απάντηση, χωρίς να προδίδεται κάτι τέτοιο από τα δεδομένα, είναι τόσο μεγάλος αριθμός, που είναι αδύνατον να το γράψει κάτω κανείς. Πράγματι, μόνο το 1965 και με χρήση ισχυρότατων ηλεκτρονικών υπολογιστών έγινε εφικτή η καταγραφή των πληθών. Πρόκειται για οκτώ αριθμούς με 200.000 ψηφία ο καθένας. Για να καταγράψει κανείς τους οκτώ αριθμούς του Αρχιμήδη, πρέπει να γράψει περισσότερα ψηφία από όσα γράμματα έχουν 600 σελίδες κειμένου, χώρια οι πράξεις για να φτάσει κανείς μέχρι εκεί. Κάτι, φυσικά, πέρα από τις ανθρώπινες δυνάμεις.


Το βοεικό πρόβλημα.

1η εκφώνηση:

Αν είσαι ώ ξένε μου σοφός κι ο νους σου κάτι κόβει,

Σκέψου καλά και μέτρησε πόσα τα βόδια του Ήλιου

Που βόσκανε, σε τέσσερα κοπάδια μοιρασμένα,

Στους κάμπους του Σικελικού νησιού της Θρινακίας

Και που 'χε το καθένα τους αλλιώτικο ένα χρώμα.

Το πρώτο λαμποκόπαγε κι ήταν λευκό σα γάλα,

το δεύτερο μαυρειδερό, το άλλο ξανθό και το άλλο

ήταν κοπάδι παρδαλό........................................

..................................

Αν θέλεις των λευκότριχων να βρεις το πλήθος πάρε

Από τους μαύρους τους μισούς, το τρίτο τους, κι ακόμη

Μαζί τους κι όλους τους ξανθούς τους ταύρους να προσθέσεις

Αν πάλι των μαυρειδερών θέλεις να βρεις το πλήθος,

Να πάρεις απ τους παρδαλούς το τέταρτο, το πέμπτο,

ακόμη κι όλους τους ξανθούς μαζί τους να προσθέσεις.

Και, για να βρεις τους παρδαλούς που μένουνε, στοχάσου

να  πάρεις το έκτο κι έβδομο των άσπρων και μαζί τους

ακόμη κι όλους τους ξανθούς τους ταύρους να προσθέσεις.

Κ' οι αγελάδες βρίσκονταν καθώς θα πούμε τώρα:

..................................

Και τώρα, ξένε μου, αν τα βρεις πόσα τα βόδια του Ήλιου

..................................

Θα σε δεχτώ για μάστορη στων αριθμών την τέχνη.

..................................

2η εκφώνηση:

Ξένε μου, αν είσαι σοφός και ο νους σου κατεβάζει, προσεκτικά υπολόγισε πόσα τα βόδια του 

Ηλίου που βόσκανε σε τέσσερα κοπάδια μοιρασμένα στους κάμπους τους Σικελικούς της νήσου

Θρινακίας...

Καθένα από τα κοπάδια αυτά είχε δικό του χρώμα.

Το πρώτο άσπρο ήτανε, κατάλευκο σαν γάλα

το δεύτερο σκουρόχρωμο,

το άλλο ξανθό και το άλλο είχε διάφορα.

Και μέσα στα κοπάδια ήτανε ταύροι αμέτρητοι και καταμερισμένοι.

Στοχάσου ξένε για να βρεις στο πρόβλημα τη λύση:

Των ταύρων των λευκότριχων θέλεις να βρεις το πλήθος.

Πάρε από τους σκούρους τους μισούς, το τρίτο τους και βάλε και όλους τους ταύρους τους 

ξανθούς και όλους πρόσθεσέ τους...

Αν τώρα των μαυριδερών θέλεις να βρεις το πλήθος, πάρε από τους πολύχρωμους το τέταρτο,

το πέμπτο, μαζί με όλους τους ξανθούς, κι αμέσως πρόσθεσέ τους...

Για να βρεις τους πολύχρωμους που μένουνε θυμήσου, να πάρεις το έκτο, το έβδομο των

άσπρων και ακόμη πάρε τους ταύρους τους ξανθούς και πρόσθεσέ τους όλους.

Τις γελάδες για να βρεις σκέψου τα παρακάτω:

Πρώτα για να βρεις τις λευκές τις αγελάδες πάρε το τρίτο και το τέταρτο του κοπαδιού των

σκούρων.

Όλες τις σκούρες για να βρεις, που βόσκουν με τους ταύρους, πάρε από τις πολύχρωμες το

τέταρτο και πέμπτο.

Για να βρεις τις πολύχρωμες τις αγελάδες πάρε από το κοπάδι το ξανθό το πέμπτο και το έκτο.

Για να μετρήσεις τις ξανθές σκέψου πως ήταν τόσες όσο του τρίτου το μισό και το έβδομο

ακόμη αυτών του άσπρου κοπαδιού.

Αν λογαριάσεις ακριβώς χώρια το κάθε χρώμα τους, τους σαρκωμένους ταύρους μα και τις

αγελάδες τους, χώρια το κάθε χρώμα, θα 'σαι σοφός και όχι άσχετος στων αριθμών την

τέχνη...

Πρόσεξε όσα θα σου πω για του Ηλίου τους ταύρους:

Οι ταύροι οι λευκότριχοι σαν πήγαιναν και σμίγαν μαζί με τους μαυριδερούς τους ταύρους όλοι

αντάμα, γινόντουσαν ισόμετροι στο μάκρος και στο πλάτος, τετράγωνο σχημάτιζαν στης

Θρινακίας τους κάμπους...

Κι οι ταύροι οι πολύχρωμοι με τους ξανθούς παρέα σχημάτιζαν σαν στέκονταν τριγωνικό ένα

σχήμα και λιγοστεύαν βαθμηδόν και φτάνανε στον ένα, χωρίς μαζί να βρίσκονται ταύροι με

άλλο χρώμα κι ούτε από τους ταύρους μας αυτούς κανένας τους να λείπει....

Αν λογαριάσεις ξένε μου των κοπαδιών τα πλήθη, μπορεί να 'σαι περήφανος κι όπου κι αν πας

να ξέρεις πως κρίθηκες και νίκησες κι είσαι σοφός σπουδαίος...

Ευχαριστώ τον παλιό μου μαθητή,παίχτη και κυρίως φίλο Βασίλη Γαβριηλίδη που το ανακάλυψε στο mantri.gr

Διαβάστε Περισσότερα »

Τα πρόβατα του καπετάν Γιάννη

Ο καπετάν Γιάννης αισθάνεται το τέλος του. έχει 3 γιους στους οποίους θέλει και να μοιράσει, όπως αυτός πιστεύει δίκαια, την περιούσια του.
Η περιούσια του είναι μόνο 19 πρόβατα. Ούτε 18 ούτε 20, 19.
Στον πρώτο του γιο ως και πρωτότοκος θέλει να αφήσει το 1/2 των πρόβατων.
Στον δεύτερο το 1/4 των πρόβατων. και στο τρίτο και τελευταίο το 1/5. Σε καμία περίπτωση δεν θέλει οι γιοι του να χωρίσουν τα πρόβατα σε κομμάτια, σκοτώνοντας τα. Βλέπεις αγαπάει τα πρόβατα σαν παιδία του. Τι πρέπει οι γιοι του να κάνουν?

Οι ανησυχίες του μαθητή μου Νικόλα Τσιμπλή στις 10.30 το βράδυ!

Διαβάστε Περισσότερα »

Τα μαργαριτάρια του μαχαραγιά

Ένας μαχαραγιάς έχει κάποιες κόρες(δεν ξέρουμε πόσες) και κάποια 
μαργαριτάρια(επίσης δεν ξέρουμε πόσα) και θέλει να τα μοιράσει ΙΣΑ σε κάθε κόρη.Έτσι Λέει: Η μια κόρη θα πάρει 1 μαργαριτάρι και το 1/7 από αυτά που περισσέψουν, η δεύτερη θα πάρει 2 και το 1/7 από αυτά που περισσέψουν, η τρίτη 3 και το 1/7 από αυτά που περισσέψουν κ.ο.κ ... Τα μαργαριτάρια όντως μοιράστηκαν ίσα... Πόσες κόρες έχει και πόσα μαργαριτάρια?

Ένας γρίφος από το μαθητή μου Ορέστη

Διαβάστε Περισσότερα »

Το θεώρημα της πίτσας!!!!!!

Το θεώρημα της πίτσας!!!!!!

Αν έχουν στραβοκόψει την πίτσα σας, πώς θα ξέρετε ποιος από τους συνδαιτυμόνες έχει φάει περισσότερο; Ένα τέτοιο πρόβλημα δεν απασχολεί μόνο τους πεινασμένους, αλλά και τους μαθηματικούς που διατύπωσαν -ύστερα από πολλές περιπέτειες- το περίφημο «θεώρημα της πίτσας».


Για τους περισσότερους το μεσημεριανό γεύμα με έναν συνάδελφο είναι μια χαλαρή υπόθεση όπου οι προβληματισμοί εξαντλούνται στο ποιο πιάτο θα διαλέξουν και αν θα πάρουν γλυκό. Για τον Ρικ Μέιμπρικαι τον Πολ Ντάιερμαν όμως το ζήτημα δεν ήταν ποτέ τόσο απλό. Τους είναι αδύνατον, για παράδειγμα, να δουν στο τραπέζι τους μια πίτσα χωρίς να προσπαθήσουν να βρουν τη λύση στο μαθηματικό πρόβλημα του πώς να τη μοιράσουν. «Τρώγαμε μαζί τουλάχιστον μία φορά την εβδομάδα» λέει ο κ. Μέιμπρι αναφερόμενος στις αρχές της δεκαετίας του 1990, όταν οι δύο μαθηματικοί εργάζονταν στο Πολιτειακό Πανεπιστήμιο της Λουιζιάνας. «Ο ένας από τους δυο μας έφερνε ένα τετράδιο και αρχίζαμε να κάνουμε σχεδιαγράμματα αφήνοντας το φαγητό μας να κρυώνει».  


Η σπαζοκεφαλιά

Το πρόβλημα που τους απασχολούσε ήταν το εξής: ας υποθέσουμε ότι στη βιασύνη του ο σερβιτόρος κόβει την πίτσα εκτός κέντρου, με όλες τις τομές να διασταυρώνονται σε ένα σημείο σχηματίζοντας ίσες γωνίες με τη γειτονική τους. Οι εκτός κέντρου τομές σημαίνουν ότι τα κομμάτια δεν θα έχουν το ίδιο μέγεθος. Επομένως δύο άτομα που παίρνουν εναλλάξ διαδοχικά κομμάτια, θα έχουν φάει ίσα μερίδια όταν τελειώσει η πίτσα και, αν όχι, ποιος θα έχει φάει περισσότερο; 

Φυσικά, θα μπορούσε κανείς να λύνει κάθε φορά το συγκεκριμένο πρόβλημα υπολογίζοντας την επιφάνεια κάθε κομματιού και προσθέτοντας τα κομμάτια του καθενός μεταξύ τους. Οι δύο ερευνητές είναι όμως μαθηματικοί και δεν αρκούνται σε τέτοιου είδους λύσεις: ήθελαν μια θεωρητική κατασκευή χωρίς ακριβείς υπολογισμούς, έναν κανόνα που θα ισχύει πάντοτε και θα μπορεί να εφαρμόζεται για κάθε στρογγυλή πίτσα. 

Όπως συμβαίνει με πολλές μαθηματικές σπαζοκεφαλιές, η απάντηση ήρθε σε στάδια, για διαφορετικές κάθε φορά πιθανές περιπτώσεις του προβλήματος. Η ευκολότερη προσφέρεται όταν τουλάχιστον μία τομή περνάει από το κέντρο της πίτσας. Ένα γρήγορο σχήμα μπορεί να δείξει ότι στην περίπτωση αυτή τα αντιδιαμετρικά κομμάτια είναι συμπληρωματικά μεταξύ τους οπότε μοιράζονται ίσα ανάμεσα στους δύο συνδαιτυμόνες, ανεξάρτητα από το πόσες είναι οι τομές. 


Η ευκολία των ζυγών

Τι γίνεται όμως όταν καμία τομή δεν περνάει από το κέντρο; Αν η πίτσα κόβεται μία φορά, η απάντηση είναι προφανής με το μάτι: όποιος τρώει το κέντρο τρώει περισσότερο. Αν γίνουν δύο τομές, που δίνουν τέσσερα κομμάτια, το αποτέλεσμα είναι το ίδιο: όποιος φάει το κομμάτι που περιλαμβάνει το κέντρο τρώει περισσότερη πίτσα. Οσο όμως οι τομές αυξάνονται, παρουσιάζονται διάφορες ανωμαλίες και η λύση τους οδήγησε, με τον χρόνο, στον σχηματισμό των τριών γενικών κανόνων που απαρτίζουν το θεώρημα της πίτσας. 

Ο πρώτος ορίζει ότι αν η πίτσα κοπεί σε ένα δεδομένο σημείο με ζυγό αριθμό τομών μεγαλύτερο του 2, θα μοιραστεί ίσα ανάμεσα στους δύο συνδαιτυμόνες που παίρνουν εναλλάξ διαδοχικά κομμάτια. Προτάθηκε για πρώτη φορά για 4 τομές (8 κομμάτια) από κάποιον Λ. Τζ. Άπτον το 1967 στο περιοδικό «Μathematics Μagazine», ενώ η λύση που όριζε ότι η πίτσα μοιράζεται ίσα για οποιονδήποτε αριθμό ζυγών τομών ήλθε έναν χρόνο αργότερα ως απάντηση στην «πρόκληση» του Άπτον. 


Ο σκόπελος των μονών 


Με τους μονούς αριθμούς τομών όμως τα πράγματα περιπλέκονται. 

Εδώ το θεώρημα της πίτσας λέει ότι αν κόψει κανείς την πίτσα με 3, 7, 11, 15... τομές χωρίς καμία τομή να περνάει από το κέντρο της, τότε αυτός που θα πάρει το κομμάτι που περιέχει το κέντρο της πίτσας θα φάει συνολικά περισσότερο. Αν όμως οι τομές είναι 5, 9, 13, 17... αυτός που θα πάρει το κομμάτι με το κέντρο καταλήγει να τρώει λιγότερο. 

Το θεώρημα ισχύει αν κάνει κανείς τους υπολογισμούς, είναι όμως εξαιρετικά δύσκολο να αποδειχθεί από τους μαθηματικούς. Τόσο δύσκολο ώστε οι κκ. Μέιμπρι και Ντάιερμαν μόλις τώρα κατόρθωσαν να ολοκληρώσουν μια απόδειξη η οποία καλύπτει όλες τις πιθανές περιπτώσεις. 

Η προσπάθειά τους ξεκίνησε το 1994, όταν ο κ. Ντάιερμαν έδειξε στον κ. Μέιμπρι μια διορθωμένη εκδοχή του θεωρήματος της πίτσας που επανεμφανίστηκε στο «Μathematics Μagazine» προκαλώντας τους αναγνώστες να αποδείξουν δύο συγκεκριμένες περιπτώσεις του προβλήματος, αυτή στην οποία η πίτσα κόβεται με 3 τομές και αυτή στην οποία κόβεται με 5. Η «άσχημη» λύση 
Ο κ. Ντάιερμαν έλυσε γρήγορα το πρόβλημα των 3 τομών, το οποίο οι συγγραφείς του άρθρου είχαν λύσει αλλά δεν αποκάλυπταν στο δημοσίευμα. Στη συνέχεια οι δύο συνεργάτες βρήκαν τη λύση για τις περιπτώσεις των 5 και των 7 τομών (οι οποίες έδιναν το ίδιο αποτέλεσμα με τις 3). Ενθουσιασμένοι με την επιτυχία τους, θεώρησαν ότι είχαν βρει την τεχνική που θα έλυνε πλήρως το πρόβλημα. Σε ένα μονό αριθμό τομών, τα αντιδιαμετρικά αντίθετα κομμάτια πηγαίνουν σε διαφορετικούς συνδαιτυμόνες, οπότε συγκρίνοντας κανείς τα μεγέθη τους μπορεί να βρει, για αυτά τα δύο, ποιος παίρνει περισσότερο και πόσο και στη συνέχεια να περάσει στο επόμενο αντιδιαμετρικά αντίθετο «ζευγάρι». 

Παρ΄ ότι ακούγεται απλό, στην πράξη αποδείχθηκε σχεδόν αδύνατον να βρεθεί μια λύση που να καλύπτει όλους τους πιθανούς μονούς αριθμούς τομών. Οι δύο μαθηματικοί χρησιμοποίησαν ένα γεωμετρικό τέχνασμα για να απλοποιήσουν τη διαδικασία, εισάγοντας ένα παραλληλεπίπεδο που σχηματίζεται από κάθε τομή και μια παράλληλή της γραμμή η οποία περνάει από το κέντρο της πίτσας. Και πάλι όμως η λύση δεν ήταν ικανοποιητική εφόσον απαιτούσε πολύπλοκους υπολογισμούς. Ήταν, όπως λένε, «άσχημη». 


Ο παράγων «καθαρός αέρας» 
  
Στα χρόνια που ακολούθησαν, ασχολήθηκαν κατά καιρούς και πάλι με το πρόβλημα, χωρίς όμως περαιτέρω επιτυχία. Η «φώτιση» ήρθε το 2006, όταν ο κ. Μέιμπρι βρισκόταν για διακοπές στη Γερμανία. «Ήμουν σε ένα ωραίο ξενοδοχείο, με ευχάριστο, δροσερό περιβάλλον και χωρίς κομπιούτερ» λέει. «Άρχισα να σκέφτομαι ξανά το πρόβλημα και τότε όλα άρχισαν να λειτουργούν». Ως τότε οι δύο μαθηματικοί χρησιμοποιούσαν μοντέλα στον ηλεκτρονικό υπολογιστή για τα αποτελέσματά τους. Μόλις όμως ο κ. Μέιμπρι άφησε την τεχνολογία στην άκρη, μπόρεσε να δει το πρόβλημα καθαρά. Επιστρέφοντας έβαλε ξανά τον υπολογιστή να δουλέψει για να βρει όλες τις πληροφορίες που χρειάζονταν για να προχωρήσει τις σκέψεις του και τελικά όλα μπήκαν στη θέση τους. Η απόδειξη του θεωρήματος της πίτσας βρέθηκε, λοιπόν, επιτέλους και έχει δημοσιευθεί στην επιθεώρηση Αmerican Μathematical Μonthly (Μάιος 2009). Ποιες πρακτικές εφαρμογές μπορεί να έχει; Προς το παρόν δεν διαφαίνεται καμία, αυτό όμως δεν ανησυχεί τον κ. Μέιμπρι. «Το παράξενο με εμάς τους μαθηματικούς» λέει «είναι ότι συχνά δεν μας ενδιαφέρει αν τα αποτελέσματα έχουν εφαρμογές γιατί τα ίδια τα αποτελέσματα είναι τόσο όμορφα». Πολλές φορές ωστόσο η χρησιμότητα των λύσεων τέτοιου είδους αφηρημένων μαθηματικών προβλημάτων εμφανίζεται με απρόσμενους τρόπους: ένα ξεχασμένο μαθηματικό παράδοξο του 19ου αιώνα για ένα μορφοκλασματικό είδος καμπύλης επανήλθε στο προσκήνιο ως μοντέλο για το σχήμα του ανθρώπινου γονιδιώματος.   

Πηγή: http://mathhmagic.blogspot.com

Διαβάστε Περισσότερα »

Τα τετράγωνα

Πόσα τετράγωνα βλέπετε στην εικόνα?

Διαβάστε Περισσότερα »

Το καρπούζι και το μαχαίρι

Μπορούμε με ένα μεγάλο μαχαίρι (μεγαλύτερο από την μεγαλύτερη διάμετρο του καρπουζιού) και ίσιες (χασάπικες) μαχαιριές, να χωρίσουμε ένα καρπούζι σε 4 ίσα ή άνισα μέρη; 

Βοήθεια: Σχετίζεται με την αντίλψη του Πλάτωνα περί την μονάδα. 

Διαβάστε Περισσότερα »

Μισογεμάτο ή μισοάδειο το βαρέλι?

Οι άνδρες στην εικόνα έχουν μια διαφωνία σε σχέση με την ποσότητα του περιεχομένου του υγρού του βαρελιού.


Ο ένας υποστηρίζει ότι είναι γεμισμένο περισσότερο από το μισό (μισογεμάτο) , ενώ ο άλλος λιγότερο από το μισό (μισοάδειο).


Ποιος από τους δύο έχει δίκιο?


Μπορείτε να τους βοηθήσετε χωρίς να χρησιμοποιήσετε κανένα  βοηθητικό αντικείμενο? (π.χ. ζυγαριά,ραβδί ή άλλο όργανο για τη μέτρηση).

Διαβάστε Περισσότερα »

Το τέλος του κόσμου

Το τέλος του κόσμου είναι μια συζήτηση που δε σταματάει ποτέ...

Πόσες και πόσες ημερομηνίες έχουν δώσει...

Κι όμως επιζήσαμε και από το millenium και σίγουρα εδώ θα είμαστε και το 2013!

Ας αφήσουμε όμως αυτά ( αν θέλετε να ασχοληθείτε με το θέμα περαιτέρω δείτε στο link ) και ας πάμε σε ένα κλασσικό μαθηματικό πρόβλημα που στηρίζεται στην καταστροφή του κόσμου.

Έτοιμοι?

Εάν την πρώτη ημέρα κάποιου νέου αιώνα ( δηλαδή του 22ου,23ου κτλ... ) θα συμβεί η καταστροφή του κόσμου, μπορείτε να βρείτε ποια είναι η πιθανότητα η μέρα αυτή να είναι Κυριακή;

Διαβάστε Περισσότερα »

Μια ακολουθία αριθμών

•  Αν στο διατεταγμένο ζεύγος αριθμών (5,2) αντιστοιχεί ο αριθμός 11
• και στο διατεταγμένο ζεύγος αριθμών (6,3) αντιστοιχεί ο αριθμός 45
• και στο διατεταγμένο ζεύγος αριθμών (7,4) αντιστοιχεί ο αριθμός 103
• και στο διατεταγμένο ζεύγος αριθμών (8,5) αντιστοιχεί ο αριθμός 191  

Ποιος αριθμός αντιστοιχεί στο διατεταγμένο ζεύγος αριθμών (9,6) ???

Ποιος ο κανόνας αντιστοίχισης???

(c) Fotis Stavridis

Διαβάστε Περισσότερα »

Θα ήθελες να δουλέψεις στην Microsoft??? Λύσε πρώτα αυτόν τον γρίφο

Τον γρίφο αυτόν είχε βάλει η MICROSOFT σε μερικούς υποψηφίους υπάλληλους.
Για να περάσεις το τεστ έπρεπε να τον λύσεις σε 5 λεπτα. Είναι 4 άτομα ( A,B,C,D) που έχουν αργήσει σε ενα πάρτι και πρέπει να περάσουν σε 17 λεπτα μια γέφυρα. Είναι σκοτεινά και έχουν ενα φακό.

Η γέφυρα χωράει μέχρι δυο άτομα την φορά. Κάθε ζευγάρι η άτομο που περνάει την γέφυρα πρέπει να έχει τον φακό μαζί και η ωρα που θα κάνουν για να περάσουν την γέφυρα θα είναι η ωρα που χρειάζεται ο πιο αργός. Ο A περνάει την γέφυρα σε 1 min. O B περνάει την γέφυρα σε 2 min. O C περνάει την γέφυρα σε 5 min. O D περνάει την γέφυρα σε 10 min. π.χ.. Αν πάει ο Α και ο D θα διασχίσουν την γέφυρα σε 10min και ένας από αυτούς θα πρέπει να γυρίσει πίσω τον φακό για να περάσουν και οι άλλοι. Όταν θα βρεθούν όλοι απέναντι από την γέφυρα σε χρόνο ίσο η μικρότερο από 17min ο γρίφος θα έχει λυθεί.

Διαβάστε Περισσότερα »

Γρίφος για επίδοξους Τζέιμς Μποντ

Σε μια πρωτότυπη μέθοδο για να στρατολογήσουν νέους πράκτορες κατέφυγαν οι βρετανικές μυστικές υπηρεσίες... όσοι φιλοδοξούν να προσφέρουν τις υπηρεσίες τους στην πατρίδα (ή ψάχνουν απλώς για δουλειά) δεν έχουν παρά να λύσουν μέσα σε οκτώ ώρες έναν μυστικό κώδικα που αποτελείται από 160 ζεύγη αριθμών και γραμμάτων και διατίθεται στο Διαδίκτυο. 

Η λύση του κώδικα οδηγεί τους χρήστες σε μία ειδική ιστοσελίδα που έχει δημιουργηθεί η υπηρεσία GCHQ και στην οποία οι νικητές μπορούν να αιτηθούν ηλεκτρονικά την πρόσληψή τους. Το σκεπτικό των Βρετανών αρχικατασκόπων είναι απλό: στην εποχή των κυβερνοπολέμων αυτό που έχει σημασία δεν είναι να παριστάνει κανείς τον Τζέιμς Μποντ, αλλά να παίζει στα δάχτυλα την πληροφορική. Με αυτό το διαδικτυακό παιχνίδι η GCHQ φιλοδοξεί να εκπαιδεύσει μια νέα γενιά κατασκόπων, από τους οποίους δεν θα λείπουν οι δεξιότητες στα ανώτερα μαθηματικά. 

Οι ενδιαφερόμενοι δεν χρειάζεται να κάνουν ιδιαίτερη έρευνα στο Ίντερνετ για να εντοπίσουν το παιχνίδι. Οι βρετανικές μυστικές υπηρεσίες φρόντισαν να αξιοποιήσουν την απήχηση δημοφιλών κοινωνικών ιστοσελίδων όπως το Facebook και το twitter για να αρτήσουν διαφημίσεις με αυτή την ιδιαίτερη αγγελία εργασίας. Σε ανακοίνωση της υπηρεσίας αναφέρεται ότι θα προσληφθούν περίπου 35 πράκτορες μέσα στους επόμενους μήνες. Για όσους ενδιαφέρονται, εκτός από τις γνώσεις πληροφορικής, θα εκτιμηθεί από τον εργοδότη και η γνώση σπάνιων γλωσσών.

Διαβάστε Περισσότερα »

Το γκράφιτι

Παρατηρώντας το γκράφιτι στον τοίχο του σχολικού γυμναστηρίου, ο κύριος Άντι δεν μπορούσε παρά να αποδεχτεί ότι η Ακαδημία Αρρένων, της οποίας ήταν διευθυντής, είχε το δικό της στυλ ακόμα και στους βανδαλισμούς.

         Το γκράφιτι είχε μια εκπαιδευτική ιδιότητα, αφού έγραφε:

                              99: 9 = 11

Αρπάζοντας έναν άτυχο μαθητή από το αυτί, ο κύριος Άντι είπε: «Νεαρέ κύριε Σμίθι, πώς θα σας φαινόταν να καθαρίζατε λιγάκι αυτόν τον τοίχο;»
Το παιδί όπως ήταν αναμενόμενο αντέδρασε κι ο κύριος Άντι του έκανε μια αντιπρόταση:

«Εντάξει λοιπόν, θα κάνουμε μια συμφωνία. Αν μπορέσεις να μου πεις ποια μαθηματικά σύμβολα θα μπορούσε ο βάνδαλος να προσθέσει στο έργο του, έτσι ώστε το αποτέλεσμα να είναι 2, χωρίς όμως να αλλάξει κανένα από τα ψηφία της παράστασης αυτής, τότε θα σε απαλλάξω από το καθάρισμα του τοίχου».

Μπορείτε να λύσετε τον γρίφο για τον Σμίθι; 

Βρείτε ποια δύο μαθηματικά σύμβολα θα μπορούσαν να προστεθούν στην παραπάνω παράσταση, ώστε το αποτέλεσμα να είναι 2.

Διαβάστε Περισσότερα »

Οι κρατούμενοι

Στο παρακάτω σχήμα βλέπουμε 8 φυλακισμένους οι οποίοι είναι μέσα σε μια ιδιαίτερη φυλακή, στην οποία υπάρχουν ανοιχτές πόρτες οριζόντια και κάθετα μεταξύ των κελιών.

Ο διευθυντής των φυλακών τους πρότεινε ένα παιχνίδι στο οποίο αν κέρδιζαν θα τους χάριζε την ελευθερία τους.

Μπορούν να μετακινηθούν σε διαφορετικά κελιά με την προϋπόθεση ότι δεν θα βρίσκονται δύο στο ίδιο κελί. Αν καταφέρουν και σχηματίσουν ένα μαγικό τετράγωνο θα αποφυλακιστούν.

Οι κρατούμενοι χάρηκαν γιατί ο κρατούμενος νούμερο 7 είχε ασχοληθεί λίγο με μαγικά τετράγωνα...Δυστυχώς γι αυτούς όμως ένας από αυτούς είπε ότι δεν θα συμμετέχει στη διαδικασία και να τον αφήσουν ήσυχο σε ένα κελί χωρίς να τον μετακινήσουν καθόλου.

Αν δε γνωρίζετε ποιος είναι αυτός ο κρατούμενος...Μπορείτε να βοηθήσετε τους φυλακισμένους να κερδίσουν την ελευθερία τους?

Διαβάστε Περισσότερα »

Ένα αστυνομικό .. πρόβλημα!!!!

Από το πολύ καλό blog του συναδέλφου Σ. Ρωμανίδη δανειζόμαστε ένα πρόβλημα

«Σήμερα μου έτυχε μια πολύ παράξενη υπόθεση» , είπε ο αστυνόμος Σαίνης στο βοηθό του υπαστυνόμο Κλουζώ. Στο ξενοδοχείο «Η ξάπλα» διεπράχθη ένας φόνος με δηλητήριο. Γνωρίζαμε ότι το θύμα δηλητηριάστηκε πίνοντας κρασί από ένα ποτήρι κατά την διάρκεια μιας γιορτής.
Το ερώτημα ήταν ποιο ποτήρι;»

«Είχαμε όλα τα ποτήρια μισογεμάτα, και τοποθετημένα σε σειρές στην κουζίνα του ξενοδοχείου. Μόνο ένα από αυτά περιείχε δηλητήριο θέλαμε να βρούμε ποιο είναι, για να το εξετάσουμε για δακτυλικά αποτυπώματα. Το εργαστήριο μας θα μπορούσε να εξετάσει το περιεχόμενο κάθε ποτηριού χωριστά αλλά όπως ξέρεις λόγω περικοπής κονδυλίων και επειδή κοστίζουν οι αναλύσεις, θέλαμε να κάνουμε όσο το δυνατό λιγότερες δόκιμες.

Τηλεφωνήσαμε λοιπόν στο πανεπιστήμιο και έστειλαν έναν καθηγητή μαθηματικών να μας βοηθήσει.
Αυτός μέτρησε τα ποτήρια, γέλασε και είπε: « Διάλεξε οποιοδήποτε ποτήρι θέλετε, αστυνόμε . Θα το εξετάσουμε πρώτο.» «Μα δεν χάνουμε έτσι μια δόκιμη;» Ρώτησα.

«Όχι» μου απάντησε.» είναι κι αυτό μέρος της πιο σύντομης διαδικασίας. Θα εξετάσουμε ένα ποτήρι στην αρχή. Δεν έχει σημασία ποιο.»

«πόσα ήταν τα ποτήρια ;» ρώτησε τότε ο υπαστυνόμος Κλουζώ.

«Δεν θυμάμαι .Ήταν αρκετά κάπου μεταξύ 500 και 600.»

Ποιος ήταν ακριβώς ο αριθμός των ποτηριών; (υποτίθεται βεβαία ότι μια ομάδα ποτηριών μπορεί να ελεγχτεί ως προς το αν περιλαμβάνει το δηλητηριασμένο ποτήρι, αντλώντας λίγο κρασί από κάθε ποτήρι και φτιάχνοντας ένα μείγμα). 

Για τη λύση κάντε κλικ εδώ.

Διαβάστε Περισσότερα »

Τα ευρώ του πατέρα

Ένας πατέρας έχει 4 παιδιά και τους δίνει χρήματα για να πάνε βόλτα.

Στο μεγάλο γιο δίνει τα μισά Ευρώ και μισό Ευρώ ακόμα.

Στη μεγάλη κόρη τα μισά Ευρώ από όσα απέμειναν και μισό Ευρώ ακόμα.

Στο μικρό γιο τα μισά Ευρώ από όσα απέμειναν και μισό Ευρώ ακόμα.

Κια τέλος στη μικρή κόρη τα μισά Ευρώ από όσα απέμειναν και μισό Ευρώ ακόμα.

Τώρα πια δεν έχει καθόλου χρήματα...

Πόσα Ευρώ τους μοίρασε?

Διαβάστε Περισσότερα »

Που είναι ο πατέρας ?

Μια μητέρα είναι σήμερα 21 χρόνια μεγαλύτερη από το γιο της.
Σε 6 χρόνια θα έχει την πενταπλάσια ηλικία από το γιο της.
Το ερώτημα είναι που βρίσκεται ο πατέρας του παιδιού?

Διαβάστε Περισσότερα »

Η πλημμύρα

Κατά τη διάρκεια ορισμένων τοπικών πλημμυρών πέντε παντρεμένα ζευγάρια βρέθηκαν να περιβάλλονται από νερό, και έπρεπε να ξεφύγουν από τη δυσάρεστη θέση , χρησιμοποιώντας μια βάρκα που μπορεί να κρατήσει μόνο τρία άτομα τη φορά. Κάθε άντρας ήταν τόσο ζηλιάρης ότι δεν θα επέτρεπε τη σύζυγό του να είναι στο πλοίο ή σε οποιαδήποτε όχθη με ένα άλλο άτομο (ή με άλλα άτομα), εκτός αν ήταν ο ίδιος παρών. Ποιος είναι ο πιο  γρήγορος τρόπος να μεταφερθούν αυτοί οι πέντε άνδρες και οι γυναίκες τους με ασφάλεια ;

Καλέστε τους άνδρες Α, Β, Γ, Δ, Ε, και τις συζύγους τους α, β, γ, δ, ε. Για τη μεταφορά και τηνεπιστροφή μετράει ως δύο διαβάσεις. Δεν επιτρέπεται να υπάρχουν κόλπα όπως σχοινιά, κολύμβηση, τα ρεύματα, κ.λπ...

Διαβάστε Περισσότερα »

Το τουρνουά τέννις

Τέσσερα παντρεμένα ζευγάρια παίζουν σε ένα μεικτό τουρνουά τέννις. Ένας άντρας και μια γυναίκα αγωνίζεται πάντα εναντίον ενός άλλου άντρα και μιας γυναίκας. Κανείς όμως δεν αγωνίζεται με κάποιον συμπαίκτη ή αντίπαλο περισσότερες από μία φορές. Μπορείτε να δείξετε τον τρόπο με τον οποίο θα μπορούσαν να παίζουν όλοι μαζί σε δύο γήπεδα για τρεις συνεχόμενες ημέρες ;

Το παραπάνω πρόβλημα προφανώς είναι εύκολο να λυθεί...
Αν τα ζευγάρια ήταν περισσότερα μπορείτε να βρείτε τη γενική λύση :

Διαβάστε Περισσότερα »