Ένα cartoon και η ιστορία του Perelman!

Σύμφωνα με το Science, η λύση από τον Πέρελμαν της Εικασίας του Πουανκαρέ, είναι το σημαντικότερο επίτευγμα του έτους 2006.

Η απόδειξη από τον αινιγματικό Ρώσο μαθηματικό Perelman Grigory, στην εδώ και εκατό χρόνια άλυτη Εικασία του Πουανκαρέ , προκάλεσε στον επιστημονικό κόσμο τεράστια αίσθηση και όχι μόνο λόγω της δυσκολίας της εργασίας. Τον Αύγουστο του 2006, ο Ρώσος Perelman έγινε το πρώτο πρόσωπο που αρνήθηκε το μετάλλιο Fields, το υψηλότερο βραβείο στα μαθηματικά.

Αρνήθηκε το βραβείο, ύψους 1.000.000 δολαρίων που του προσφέρθηκε από το αμερικανικό Ίδρυμα Μαθηματικών, επειδή δεν θεωρεί τους κριτές άξιους να κρίνουν τον ίδιο. Ο Perelman λέγεται ότι περιφρονεί την αυτοδιαφήμιση και περιγράφεται ως "ερημίτης", απομονωμένος από την υπόλοιπη μαθηματική κοινότητα.

Κι όπως λέει ένας συνάδελφος του δεν ενδιαφέρεται καθόλου για χρήματα. Το μεγάλο βραβείο για αυτόν ήταν να αποδείξει το θεώρημα. Μολονότι του πρόσφεραν θέσεις εργασίας σε πολλά κορυφαία πανεπιστήμια των ΗΠΑ, συμπεριλαμβανομένου του Princeton και του Stanford, εκείνοςαπέρριψε όλες τις προτάσεις. Εκτός από μεγαλοφυΐα στα μαθηματικά, η παράξενη αυτή διάνοια, είναι ένας ταλαντούχος βιολονίστας και επίσης ένα ισχυρός παίκτης πινγκ-πονγκ.

Ένα cartoon της ιστορίας αυτής είναι το παρακάτω.

Ο Πέρελμαν, γεννήθηκε στις 13 Ιουνίου του 1966 και φοίτησε σε σχολείο της Αγίας Πετρούπολης με ειδίκευση στα Μαθηματικά και τη Φυσική και σε ηλικία 16 ετών κέρδισε το χρυσό μετάλλιο στην Διεθνή Μαθηματική Ολυμπιάδα το 1982. Αφότου ολοκλήρωσε το διδακτορικό του στο Πανεπιστήμιο της Αγίας Πετρούπολης και εργάστηκε για λίγο στη Ρωσία, μετακόμισε στις ΗΠΑ. Πριν από περίπου δέκα χρόνια επέστρεψε στη Ρωσία, για να εργαστεί στην απόδειξή του για το σχήμα του Σύμπαντος. Καταδέχτηκε πάντως να περιγράψει την απόδειξη το 2003 στο Πανεπιστήμιο Πρίνστον.

Σε μια σπάνια συνέντευξη, ο Perelman είπε στο περιοδικό New Yorker : «Δεν μου είναι ξεκάθαρο ποια ήταν η συμβολή μου σ' αυτό που έκανα.»

Ο Perelman, ζώντας κατ’ επιλογήν του απομονωμένος, άφησε το Ίδρυμα Steklov τον Ιανουάριο, και τελευταία ειπώθηκε πως είναι άνεργος και ζει με τη μητέρα του στο διαμέρισμά της στην Αγία Πετρούπολη. Έχει μία μικρότερη αδελφή, την Έλενα, η οποία είναι επίσης μαθηματικός.

Η εργασία του - σχετικά με την Εικασία που διατύπωσε το 1904 ο Γάλλος μαθηματικός, φυσικός και φιλόσοφος Ζυλ Ανρί Πουανκαρέ, σχετικά με τα σχήματα που είναι δυνατόν να έχει το Σύμπαν - έχει δημιουργήσει στον χώρο των Μαθηματικών ενθουσιασμό μεν αλλά και διαμάχες.

Ο Terence Tao, καθηγητής των μαθηματικών στο πανεπιστήμιο της Καλιφόρνια στο Λος Άντζελες, αποκαλεί το αποτέλεσμα του Perelman σαν το «καλύτερο κομμάτι των μαθηματικών που έχουμε δει τα τελευταία 10 χρόνια».

Ο Timofey Shilkin, συνάδελφος του Perelman στο Ίδρυμα Μαθηματικών Steklov στην Αγία Πετρούπολη, λέει: «Αξίζει σίγουρα το μετάλλιο Fields - αυτή είναι η προσωπική μου άποψη. Είμαι απολύτως βέβαιος ότι είναι μεγαλοφυΐα.» Και πρόσθεσε: «Φοβούμαι ότι είναι ένα άτομο πολύ εσωστρεφές. Ξέρουμε πολύ λίγα πράγματα για τον ίδιο. Ξέρω μόνο ότι είναι άριστος μαθηματικός. Τον συνάντησα όταν ήταν μέλος της ομάδας μας και οι επαφές μας γίνονταν περίπου μια φορά την εβδομάδα, αλλά κάναμε πολύ σύντομες μόνο συζητήσεις».

Για αρκετά χρόνια εργάστηκε, ως επί το πλείστον, μόνο πάνω στην Εικασία του Πουανκαρέ. Όλες οι αποδείξεις που είχαν προταθεί ως σήμερα είχαν αποδειχθεί ψευδείς. Έπειτα από οκτώ χρόνια προσπαθειών, ο Perelman κατέληξε το 2002 σε μια απόδειξη 473 σελίδων στην οποία οι συνάδελφοί του δεν κατάφεραν να εντοπίσουν κανένα λάθος.

Επειδή ο Perelman έχει έρθει σε διάσταση με τους υπόλοιπους μαθηματικούς που ελέγχουν τα περιοδικά, γι’ αυτό και δεν έστειλε την εργασία του προς δημοσίευση σε ένα από τα έγκυρα μαθηματικά περιοδικά. Μια δημοσίευση σε αυτά θα ήταν αδύνατη, αφ’ ενός διότι οι εκδότες δεν θα τη δημοσίευαν, αφ’ ετέρου διότι ο ίδιος δεν ήθελε να καταστήσει κριτές του έργου του, ανθρώπους τους οποίους (υπεροπτικά ίσως) θεωρούσε κατωτέρους του. Οπότε χρησιμοποίησε το Διαδίκτυο και η σημαντική μελέτη του δεν έμεινε άγνωστη.

Μια από τις ελάχιστες φωτογραφίες του Grigory Perelman,  της πιθανόν σπουδαιότερης μαθηματικής μεγαλοφυΐας του 20ου αιώνα,  από συνεπιβάτη, που έτυχε να τον αναγνωρίσει στο μετρό της Πετρούπολης.

Μάλιστα δημοσίευσε μόνο τα βασικά σημεία της μελέτης του, χωρίς πλήρη και λεπτομερή απόδειξη. Πήρε 4 χρόνια κοπιαστικής δουλειάς στους υπόλοιπους, να κατανοήσουν και να ασχοληθούν με την απόδειξή του χωρίς να βρουν λάθος.

Η Εικασία Πουανκαρέ είναι ένα κεντρικό ζήτημα στην τοπολογία, τη μελέτη των γεωμετρικών ιδιοτήτων των αντικειμένων που δεν αλλάζουν όταν τεντώνονται, διαστρεβλώνονται, ή συρρικνώνονται.

Η επιφάνεια της Γης περιγράφεται ως δισδιάστατη σφαίρα από την τοπολογία. Εάν κάποιος την περικύκλωνε με ένα λάσο, θα μπορούσε να την αναγκάσει να περιοριστεί σε ένα σημείο. Στην επιφάνεια του ντόνατς, εν τούτοις, ένα λάσο που θα περνούσε μέσα από την τρύπα του στο κέντρο, δεν θα μπορούσε να το περιορίσει σε ένα σημείο χωρίς να κοπεί η επιφάνεια.

Για παράδειγμα η Εικασία του Πουανκαρέ καθορίζει ποια στερεά σώματα (ή πολλαπλότητες σε αφηρημένους μαθηματικούς χώρους άνω των τριών διαστάσεων) είναι ισοδύναμα, από τοπολογική άποψη με μια σφαίρα και ποια όχι.

Παραδείγματος χάριν, ένας κύβος από πλαστελίνη είναι ισοδύναμος με σφαίρα, αφού μπορούμε να τον πλάσουμε σαν σφαίρα, ενώ ένα ντόνατς δεν είναι, γιατί έχει μια τρύπα στη μέση.

Φαντασθείτε ότι έχετε ένα λάστιχο, ένα μήλο και ένα ντόνατς με τρύπα στη μέση. Αν τραβήξετε το λάστιχο και το τοποθετήσετε περιμετρικά γύρω από το μήλο, θα μπορείτε να μετακινήσετε το λάστιχο από τον «Ισημερινό» στον «Πόλο» του μήλου, χωρίς να σκίσετε το λάστιχο και χωρίς να εγκαταλείψετε την επιφάνεια του μήλου. Αν, όμως, το λάστιχο τοποθετηθεί πάνω στην επιφάνεια του ντόνατς, τότε δεν υπάρχει τρόπος να μετακινήσουμε το λάστιχο σε όλη την επιφάνεια του ντόνατς, χωρίς να το σκίσουμε ή το ένα ή το άλλο. Ο Πουανκαρέ υπέθεσε ότι κάτι ανάλογο συμβαίνει και στον τετραδιάστατο χώρο, ενώ σύγχρονοι Μαθηματικοί απέδειξαν ότι κάτι τέτοιο συμβαίνει και σε χώρο περισσοτέρων των τεσσάρων διαστάσεων.

O Πουανκαρέ χαρακτηρίσθηκε ως «Ο Τελευταίος Αναγεννησιακός Άνθρωπος», ένας Μαθηματικός που αισθανόταν άνετα σε κάθε τομέα των Μαθηματικών, όπως στην ανάλυση, την άλγεβρα, την τοπολογία, την αστρονομία και τη θεωρητική φυσική. Ο Γάλλος Μαθηματικός ήταν μεγάλος οραματιστής, που πρώτος εξέφρασε τη βασική αρχή της Θεωρίας του Χάους, ότι δηλαδή «μικρές διαφορές στις αρχικές συνθήκες προκαλούν μεγάλες διαφορές στο τελικό αποτέλεσμα».

Έλεγχος της εργασίας

Από το 19ο αιώνα, οι μαθηματικοί ξέρουν ότι η σφαίρα είναι το μόνο δισδιάστατο αντικείμενο με αυτήν την ιδιότητα, αλλά ήταν αβέβαιοι για τα αντικείμενα με περισσότερες διαστάσεις. Η Εικασία Πουανκαρέ λέει ότι μια τρισδιάστατη σφαίρα είναι ο μόνος περιβαλλόμενος τρισδιάστατος χώρος χωρίς οπές.

Την απόδειξη της Εικασίας την απέφευγαν οι μαθηματικοί έως ότου ταχυδρόμησε ο Perelman την εργασία του στον ιστοχώρο http://arxiv.org/

Ο ιστοχώρος αυτός, είναι ένας κεντρικός υπολογιστής, όπου οι ερευνητές ανεβάζουν τις εργασίες τους ως ηλεκτρονικές προδημοσιεύσεις στους τομείς των μαθηματικών, φυσικής, πληροφορικής, βιολογίας κ.λ.π. προτού τις δημοσιεύσουν σε ένα επιστημονικό περιοδικό.

Πάντως, κατά το περιοδικό Science του 2006 το πρώτο και κυριότερο επίτευγμα εκείνης της χρονιάς είναι η λύση Πέρελμαν. Το περιοδικό την παρουσιάζει πρώτη-πρώτη στη λίστα δέκα άλλων επιτευγμάτων και γράφει:

Πρώτο επίτευγμα:

"Η Εικασία του Πουανκαρέ. Ο απομονωμένος Ρώσος μαθηματικός Grigory Perelman έλυσε προφανώς το δύσκολο μαθηματικό πρόβλημα".