Το κάλπικο νόμισμα

Έχουμε 12 νομίσματα με 1 από αυτά είναι κάλπικο. Το κάλπικο μπορεί να είναι είτε βαρύτερο είτε ελαφρύτερο από τα άλλα, δεν ξέρουμε τι. Για να βρούμε το κάλπικο μας δίνουν μια απλή ζυγαριά, χωρίς μέτρηση βάρους απλά να βλέπουμε την ισορροπία. Με 3 ζυγίσεις το πολύ βρες το κάλπικο νόμισμα και πες αν είναι ελαφρύτερο ή βαρύτερο.

Διαβάστε Περισσότερα »

Επιστροφή στις δέσμες?

Επιστροφή στο παλιό Λύκειο των Δεσμών φαίνεται να ετοιμάζει το υπ. Παιδείας, αφού σύμφωνα με την πρόταση της άτυπης επιτροπής του υπουργείου καταργούνται οι κατευθύνσεις για τη Γ' τάξη του Γενικού Λυκείου και αντικαθίστανται από τρεις κύκλους σπουδών.
Οι κατευθύνσεις καταργούνται και αντικαθίστανται από τρεις κύκλους σπουδών, ωστόσο ακόμα δεν έχει διευκρινιστεί το πότε θα εφαρμοστεί το νέο σύστημα εισαγωγής στην τριτοβάθμια εκπαίδευση.

Ο 1ος κύκλος εστιάζει στις Κλασικές και Ανθρωπιστικές Επιστήμες, ο 2ος κύκλος στις Θετικές, στις Τεχνολογικές και τις Επιστήμες Υγείας και ο 3ος κύκλος στις Οικονομικές, Κοινωνικές και Πολιτικές Επιστήμες.

Τα μαθήματα μειώνονται σε 4 από 11 που διδάσκονται σήμερα. Μένουν η Νέα Ελληνική Γλώσσα και Γραμματεία, τα Μαθηματικά, η Ιστορία, η Φυσική Αγωγή με 11 ώρες διδασκαλίας. Αρχαία, Φυσική, Βιολογία, Ξένη Γλώσσα, Θρησκευτικά και Κοινωνιολογία φεύγουν από το πρόγραμμα γενικής Παιδείας της τελευταίας τάξης, ενώ δεν υπάρχουν κοινά μαθήματα επιλογής μεταξύ των κύκλων που να επιτρέπουν την κινητικότητα των μαθητών.

Τέτοια μαθήματα - μπαλαντέρ (Μαθηματικά, Βιολογία, Φυσική και Ιστορία) υπάρχουν στο σημερινό πρόγραμμα της Γ' τάξης, επιτρέποντας π.χ. στον υποψήφιο της θεωρητικής κατεύθυνσης να δηλώνει ακόμη και Ιατρικές με Βιολογία γενικής παιδείας και πέναλτι με μόρια.

Η Ξένη Γλώσσα υπάρχει ως μάθημα επιλογής και στους τρεις κύκλους σπουδών, η Κοινωνιολογία είναι βασικό μάθημα του πρώτου και του τρίτου κύκλου. Το μάθημα των Θρησκευτικών δεν υπάρχει στην τρίτη Λυκείου, όπου σήμερα είναι μονόωρο. Παραμένει δίωρο στην Α' Λυκείου και μονόωρο στην Β' Λυκείου και αλλάζει και τίτλο και μετονομάζεται "Θρησκεία και Κόσμος".

Τα υποχρεωτικά μαθήματα είναι 5 για τον πρώτο κύκλο και 6 για τον 2ο και τον 3ο κύκλο και οι ώρες διδασκαλίας τους είναι 20.

Για τα μαθήματα επιλογής, δεν υπάρχει ακόμα ξεκάθαρη εικόνα. Προβλέπονται 4 μαθήματα επιλογής με κοινή την Ξένη Γλώσσα, δηλαδή 10 μαθήματα συνολικά, αλλά το υπουργείο αναφέρει μέχρι στιγμής μόνο 5.

newsbomb

Διαβάστε Περισσότερα »

Ο Αρχιμήδης και το βοεικό πρόβλημα

Ο Αρχιμήδης (287-212 π.Χ.) ήταν αναμφισβήτητα ο μεγαλύτερος μαθηματικός της αρχαιότητας και ένας από τους σημαντικότερους όλων των εποχών. Η συμβολή του στα μαθηματικά είναι ποικίλη. Πρωτίστως, επινόησε μεθόδους αντίστοιχες του ολοκληρωτικού λογισμού των Λάιμπνιτς και Νεύτωνα, βελτιώνοντας τις μεθόδους του Ευδόξου, τις οποίες εφάρμοσε για τον προσδιορισμό εμβαδών και όγκων διαφόρων σχημάτων. Δεύτερον ασχολήθηκε με τη θεωρητική και εφαρμοσμένη μηχανική, αλλά με την αστρονομία στις οποίες είχε αξιόλογη συμβολή. Τέλος, άφησε διάφορα άλλα σημαντικά μαθηματικά κείμενα, συμπεριλαμβανομένης της περίφημης «Εφόδου».
Είναι γνωστό, ότι ο Αρχιμήδης συνήθιζε να στέλνει επιστολές από τις Συρακούσες όπου ζούσε προς στους μαθηματικούς της Αλεξάνδρειας. Μερικές από αυτές τις επιστολές περιείχαν τις εκφωνήσεις νέων, δικών του, θεωρημάτων, αλλά δεν συνοδευόντουσαν και από τις αποδείξεις τους. Η αιτία ήταν γιατί ήθελε να δώσει την ευκαιρία στους μαθηματικούς να τις διερευνήσουν πριν τους στείλει, αργότερα, το νέο του κάθε φορά βιβλίο με τις αποδείξεις. Παραδείγματος χάριν στο πρόλογο του «Περί Ελίκων» του γράφει προς τον φίλο του μαθηματικό Δοσίθεο αναφερόμενος σε παλαιότερη επιστολή προς τον Κόνωνα, ο οποίος δεν ζούσε πια, τα εξής (σε ελεύθερη απόδοση):
«Τα θεωρήματα που έστειλα προς τον Κόνωνα, για τα οποία πάντοτε με παρότρυνες να γράψω τις αποδείξεις [...] σου τις στέλνω αφού τις έγραψα σ’ αυτό το βιβλίο. Μην απορήσεις όμως εάν μου πήρε πολύ χρόνο να δημοσιεύσω τις αποδείξεις τους γιατί συνέβη το εξής, ήθελα πρώτα να τις δώσω σε εκείνους τους ενασχολούμενους με τα μαθηματικά οι οποίοι επιθυμούσαν να τις διερευνήσουν (δια το βούλεσθαί με πρότερον διδόμεν τοις περί τα μαθήματα πραγματευομένοις και μαστεύειν αυτά προαιρουμένοις).
Τα προβλήματα που έστελνε ο Αρχιμήδης στις επιστολές του ήταν πολύ δύσκολα. Απλή εξέταση όσων εξ αυτών έφτασαν μέχρι τις μέρες μας, και είναι αρκετά, μας πείθει για του λόγου το αληθές. Άλλωστε συχνά αναφέρει ο ίδιος στα κείμενά του ότι τα προβλήματα που είχε στείλει κάποια προηγούμενη φορά κανείς δε φαίνεται να τα έλυσε. Λόγου χάριν στο «Περί Ελίκων», λίγο πριν γράψει τις λύσεις, αναφέρει «[...] αφού πέρασαν πολλά χρόνια και δεν πληροφορήθηκα ότι επιλήφθηκε κανείς των προβλημάτων, επιθυμώ να σου εξηγήσω το καθένα [...]»
Ο Αρχιμήδης γνώριζε ότι αντιμετώπιζε σοβαρότατα προβλήματα με την εντιμότητα των συναδέλφων του μαθητικών της Αλεξάνδρειας και τα αντιμετώπιζε, στήνοντας διάφορες παγίδες ...
συγκεκριμένα, όπως γράφει ο ίδιος, για μερικά θεωρήματα δεν διατυπώνει την σωστή απάντηση γιατίορισμένοι έχουν την κακή συνήθεια να σφετερίζονται τα θεωρήματά του, λέγοντας ότι τα απέδειξαν οι ίδιοι στο παρελθόν. Γράφει χαρακτηριστικά ότι «[...] διότι συμβαίνει δύο από τα θεωρήματά μου να τα έχω προσθέσει εδώ εσφαλμένα, ώστε αυτοί που ισχυρίζονται ότι τα έχουν βρει όλα, χωρίς όμως να παρουσιάζουν και κάποια απόδειξη, να ελέγχονται ότι ευρίσκουν τα αδύνατα». Και αποκαλύπτει την πονηριά του μόνον αργότερα, όταν στέλνει τις λύσεις στα προβλήματά του.

Ένα από τα τεχνάσματά ενσωμάτωσε σε ένα πρόβλημα, το λεγόμενο βοεικό, το οποίο απέστειλε στη μορφή ποιήματος σε ελεγειακό μέτρο στον φίλο του Ερατοσθένη για τους Αλεξανδρινούς μαθηματικούς.

Το πρόβλημα ζητά να βρεθεί το πλήθος βοδιών και αγελάδων ενός κοπαδιού, από κάποια απλά αριθμητικά δεδομένα. Ένας έμπειρος μαθηματικός δεν έχει καμία δυσκολία να καταστρώσει γρήγορα τις εξισώσεις από τα επιτάγματα του προβλήματος. Όμως ο Αρχιμήδης αναφέρει στους τελευταίους στίχους του ποιήματος ότι «αν καταφέρεις, ξένε, να εκφράσεις όλα τα μεγέθη των πληθών, πήγαινε υπερηφανευόμενος ότι αναδείχθηκες νικητής γνωρίζοντας ότι κρίθηκες τέλειος σε αυτού του είδους την σοφία (δηλαδή στην ικανότητα με τους αριθμούς)».
Ο τελευταίος αυτός στίχος φαίνεται προκλητικός. Είναι σαν να λεει ο Αρχιμήδης ότι δεν θα τα καταφέρει ο λύτης. Πού όμως έγκειται η δυσκολία; Αυτό που δεν αντιλαμβάνεται ο ανυποψίαστος επίδοξος λύτης είναι ότι ο Αρχιμήδης επέλεξε με τέτοια μαεστρία τα δεδομένα του προβλήματος ώστε η απάντηση, χωρίς να προδίδεται κάτι τέτοιο από τα δεδομένα, είναι τόσο μεγάλος αριθμός, που είναι αδύνατον να το γράψει κάτω κανείς. Πράγματι, μόνο το 1965 και με χρήση ισχυρότατων ηλεκτρονικών υπολογιστών έγινε εφικτή η καταγραφή των πληθών. Πρόκειται για οκτώ αριθμούς με 200.000 ψηφία ο καθένας. Για να καταγράψει κανείς τους οκτώ αριθμούς του Αρχιμήδη, πρέπει να γράψει περισσότερα ψηφία από όσα γράμματα έχουν 600 σελίδες κειμένου, χώρια οι πράξεις για να φτάσει κανείς μέχρι εκεί. Κάτι, φυσικά, πέρα από τις ανθρώπινες δυνάμεις.


Το βοεικό πρόβλημα.

1η εκφώνηση:

Αν είσαι ώ ξένε μου σοφός κι ο νους σου κάτι κόβει,

Σκέψου καλά και μέτρησε πόσα τα βόδια του Ήλιου

Που βόσκανε, σε τέσσερα κοπάδια μοιρασμένα,

Στους κάμπους του Σικελικού νησιού της Θρινακίας

Και που 'χε το καθένα τους αλλιώτικο ένα χρώμα.

Το πρώτο λαμποκόπαγε κι ήταν λευκό σα γάλα,

το δεύτερο μαυρειδερό, το άλλο ξανθό και το άλλο

ήταν κοπάδι παρδαλό........................................

..................................

Αν θέλεις των λευκότριχων να βρεις το πλήθος πάρε

Από τους μαύρους τους μισούς, το τρίτο τους, κι ακόμη

Μαζί τους κι όλους τους ξανθούς τους ταύρους να προσθέσεις

Αν πάλι των μαυρειδερών θέλεις να βρεις το πλήθος,

Να πάρεις απ τους παρδαλούς το τέταρτο, το πέμπτο,

ακόμη κι όλους τους ξανθούς μαζί τους να προσθέσεις.

Και, για να βρεις τους παρδαλούς που μένουνε, στοχάσου

να  πάρεις το έκτο κι έβδομο των άσπρων και μαζί τους

ακόμη κι όλους τους ξανθούς τους ταύρους να προσθέσεις.

Κ' οι αγελάδες βρίσκονταν καθώς θα πούμε τώρα:

..................................

Και τώρα, ξένε μου, αν τα βρεις πόσα τα βόδια του Ήλιου

..................................

Θα σε δεχτώ για μάστορη στων αριθμών την τέχνη.

..................................

2η εκφώνηση:

Ξένε μου, αν είσαι σοφός και ο νους σου κατεβάζει, προσεκτικά υπολόγισε πόσα τα βόδια του 

Ηλίου που βόσκανε σε τέσσερα κοπάδια μοιρασμένα στους κάμπους τους Σικελικούς της νήσου

Θρινακίας...

Καθένα από τα κοπάδια αυτά είχε δικό του χρώμα.

Το πρώτο άσπρο ήτανε, κατάλευκο σαν γάλα

το δεύτερο σκουρόχρωμο,

το άλλο ξανθό και το άλλο είχε διάφορα.

Και μέσα στα κοπάδια ήτανε ταύροι αμέτρητοι και καταμερισμένοι.

Στοχάσου ξένε για να βρεις στο πρόβλημα τη λύση:

Των ταύρων των λευκότριχων θέλεις να βρεις το πλήθος.

Πάρε από τους σκούρους τους μισούς, το τρίτο τους και βάλε και όλους τους ταύρους τους 

ξανθούς και όλους πρόσθεσέ τους...

Αν τώρα των μαυριδερών θέλεις να βρεις το πλήθος, πάρε από τους πολύχρωμους το τέταρτο,

το πέμπτο, μαζί με όλους τους ξανθούς, κι αμέσως πρόσθεσέ τους...

Για να βρεις τους πολύχρωμους που μένουνε θυμήσου, να πάρεις το έκτο, το έβδομο των

άσπρων και ακόμη πάρε τους ταύρους τους ξανθούς και πρόσθεσέ τους όλους.

Τις γελάδες για να βρεις σκέψου τα παρακάτω:

Πρώτα για να βρεις τις λευκές τις αγελάδες πάρε το τρίτο και το τέταρτο του κοπαδιού των

σκούρων.

Όλες τις σκούρες για να βρεις, που βόσκουν με τους ταύρους, πάρε από τις πολύχρωμες το

τέταρτο και πέμπτο.

Για να βρεις τις πολύχρωμες τις αγελάδες πάρε από το κοπάδι το ξανθό το πέμπτο και το έκτο.

Για να μετρήσεις τις ξανθές σκέψου πως ήταν τόσες όσο του τρίτου το μισό και το έβδομο

ακόμη αυτών του άσπρου κοπαδιού.

Αν λογαριάσεις ακριβώς χώρια το κάθε χρώμα τους, τους σαρκωμένους ταύρους μα και τις

αγελάδες τους, χώρια το κάθε χρώμα, θα 'σαι σοφός και όχι άσχετος στων αριθμών την

τέχνη...

Πρόσεξε όσα θα σου πω για του Ηλίου τους ταύρους:

Οι ταύροι οι λευκότριχοι σαν πήγαιναν και σμίγαν μαζί με τους μαυριδερούς τους ταύρους όλοι

αντάμα, γινόντουσαν ισόμετροι στο μάκρος και στο πλάτος, τετράγωνο σχημάτιζαν στης

Θρινακίας τους κάμπους...

Κι οι ταύροι οι πολύχρωμοι με τους ξανθούς παρέα σχημάτιζαν σαν στέκονταν τριγωνικό ένα

σχήμα και λιγοστεύαν βαθμηδόν και φτάνανε στον ένα, χωρίς μαζί να βρίσκονται ταύροι με

άλλο χρώμα κι ούτε από τους ταύρους μας αυτούς κανένας τους να λείπει....

Αν λογαριάσεις ξένε μου των κοπαδιών τα πλήθη, μπορεί να 'σαι περήφανος κι όπου κι αν πας

να ξέρεις πως κρίθηκες και νίκησες κι είσαι σοφός σπουδαίος...

Ευχαριστώ τον παλιό μου μαθητή,παίχτη και κυρίως φίλο Βασίλη Γαβριηλίδη που το ανακάλυψε στο mantri.gr

Διαβάστε Περισσότερα »

Τα μαθηματικα υδρεύουν τη Σάμο

Ο ΣΤΕΑΤ (Σύνδεσμος Τεχνικών Εταιρειών Ανωτέρων Τάξεων)  χρηματοδότησε την παραγωγή ταινίας μικρού μήκους για το Ευπαλίνειο Όρυγμα της Σάμου.

Η ταινία δημιουργήθηκε με τις οδηγίες του Ομότιμου Καθηγητή ΕΜΠ κ. Θ. Τάσιου και των συνεργατών του.


Η  αναφορά στο Ευπαλίνειο όρυγμα από τον Ηρόδοτο (Γ,60):

[1] Ἐμήκυνα δὲ περὶ Σαμίων μᾶλλον, ὅτι σφι τρία ἐστὶ μέγιστα ἁπάντων Ἑλλήνων ἐξεργασμένα, ὄρεός τε ὑψηλοῦ ἐς πεντήκοντα καὶ ἑκατὸν ὀργυιάς, τούτου ὄρυγμα κάτωθεν ἀρξάμενον, ἀμφίστομον. [2] τὸ μὲν μῆκος τοῦ ὀρύγματος ἑπτὰ στάδιοι εἰσί, τὸ δὲ ὕψος καὶ εὖρος ὀκτὼ ἑκάτερον πόδες. διὰ παντὸς δὲ αὐτοῦ ἄλλο ὄρυγμα εἰκοσίπηχυ βάθος ὀρώρυκται, τρίπουν δὲ τὸ εὖρος, δι᾽ οὗ τὸ ὕδωρ ὀχετευόμενον διὰ τῶν σωλήνων παραγίνεται ἐς τὴν πόλιν ἀγόμενον ἀπὸ μεγάλης πηγῆς. [3] ἀρχιτέκτων δὲ τοῦ ὀρύγματος τούτου ἐγένετο Μεγαρεὺς Εὐπαλῖνος Ναυστρόφου.

Σε ελεύθερη μετάφραση:

Ανέφερα πολλά δε για τους Σαμίους, γιατί έχουν κάνει τρία από τα μεγαλύτερα έργα από όλους τους Έλληνες. Σε όρος με ύψος εκατόν πενήντα οργιές, έφτιαξαν υπόγειο όρυγμα που το είχαν αρχίσει ταυτόχρονα από δυο πλευρές. Το μεν μήκος του ορύγματος είναι επτά στάδια, το δε ύψος και πλάτος είναι οκτώ πόδια το καθένα. Καθ' όλο το μήκος του δε, έχει ανοιχτεί ένα άλλο όρυγμα, σε βάθος είκοσι πήχεων, με πλάτος τριών ποδιών, μέσα από το οποίο το νερό διοχετεύεται μέσα από σωλήνες από μεγάλη πηγή μέχρι την πόλη. Ο αρχιτέκτονας δε του ορύγματος αυτού ήταν ο Ευπαλίνος, γιος του Ναυστρόφου από τα Μέγαρα.

Δείτε το Video

Διαβάστε Περισσότερα »

Τα πρόβατα του καπετάν Γιάννη

Ο καπετάν Γιάννης αισθάνεται το τέλος του. έχει 3 γιους στους οποίους θέλει και να μοιράσει, όπως αυτός πιστεύει δίκαια, την περιούσια του.
Η περιούσια του είναι μόνο 19 πρόβατα. Ούτε 18 ούτε 20, 19.
Στον πρώτο του γιο ως και πρωτότοκος θέλει να αφήσει το 1/2 των πρόβατων.
Στον δεύτερο το 1/4 των πρόβατων. και στο τρίτο και τελευταίο το 1/5. Σε καμία περίπτωση δεν θέλει οι γιοι του να χωρίσουν τα πρόβατα σε κομμάτια, σκοτώνοντας τα. Βλέπεις αγαπάει τα πρόβατα σαν παιδία του. Τι πρέπει οι γιοι του να κάνουν?

Οι ανησυχίες του μαθητή μου Νικόλα Τσιμπλή στις 10.30 το βράδυ!

Διαβάστε Περισσότερα »

Τα μαργαριτάρια του μαχαραγιά

Ένας μαχαραγιάς έχει κάποιες κόρες(δεν ξέρουμε πόσες) και κάποια 
μαργαριτάρια(επίσης δεν ξέρουμε πόσα) και θέλει να τα μοιράσει ΙΣΑ σε κάθε κόρη.Έτσι Λέει: Η μια κόρη θα πάρει 1 μαργαριτάρι και το 1/7 από αυτά που περισσέψουν, η δεύτερη θα πάρει 2 και το 1/7 από αυτά που περισσέψουν, η τρίτη 3 και το 1/7 από αυτά που περισσέψουν κ.ο.κ ... Τα μαργαριτάρια όντως μοιράστηκαν ίσα... Πόσες κόρες έχει και πόσα μαργαριτάρια?

Ένας γρίφος από το μαθητή μου Ορέστη

Διαβάστε Περισσότερα »

Μαθηματικά του Χάους (Ντοκιμαντέρ του BBC με υπότιτλους)

Το ντοκιμαντέρ του BBC έτος παραγωγής (2008) εξετάζει κατά πόσο οι εξελίξεις στα μαθηματικά στη διάρκεια του τελευταίου αιώνα έχουν αλλάξει τις αντιλήψεις μας γύρω από τις θεμελιώδεις αρχές του κόσμου στον οποίο ζούμε.

Καθώς είμαστε στα πρόθυρα τόσο οικονομικών όσο και κλιματικών ανατροπών, το ντοκιμαντέρ εξετάζει μέσω της μαθηματικής επιστήμης την απροθυμία μας να αντιμετωπίσουμε τις ανατροπές αυτές μέχρι τώρα και θέτει το ερώτημα εάν ακόμα και τώρα, προτιμούμε να εθελοτυφλούμε παρά να αντιμετωπίσουμε σκληρές αλήθειες.

Διαβάστε Περισσότερα »

Υπολογίστηκε ο μεγαλύτερος πρώτος αριθμός

Ένα από τα πιο ενεργά ερευνητικά πεδία των μαθηματικών αφορά τους πρώτους αριθμούς. Ως πρώτος αριθμός ορίζεται ένας φυσικός αριθμός μεγαλύτερος της μονάδας, του οποίου οι μοναδικοί φυσικοί διαιρέτες είναι η μονάδα και ο εαυτός του. Οι πρώτοι αριθμοί έχουν άπειρο πλήθος και η εύρεσή τους απασχόλησε τους μαθηματικούς από την αρχαιότητα.

Έως σήμερα ο μεγαλύτερος πρώτος αριθμός ήταν ο 243.112.609 – 1, οποίος υπολογίστηκε το 2008 και αποτελείται από 12.978.189 ψηφία. Τώρα ο Αμερικανός μαθηματικός Κέρτις Κούπερ του Πανεπιστημίου του Κεντρικού Μιζούρι έσπασε κατά πολύ αυτό το ρεκόρ, ανακαλύπτοντας τον 257.885.161 – 1, αποτελούμενο από 17.425.170 ψηφία.

Ο Κούπερ, ο οποίος έχει υπολογίσει άλλους δύο μεγάλους πρώτους αριθμούς στο παρελθόν, είναι μέλος ενός γιγαντιαίου δικτύου εθελοντών υπολογιστών αφιερωμένο στον υπολογισμό πρώτων αριθμών, με την ονομασία Great Internet Mersenne Prime Search (GIMPS).

Το δίκτυο GIMPS έχει στη διάθεσή του περίπου 360.000 επεξεργαστές και πραγματοποιεί 150 τρισεκατομμύρια υπολογισμούς το δευτερόλεπτο.

«Είναι το μαθηματικό ανάλογο του να αναρριχάσαι στο Έβερεστ», δήλωσε ο ιδρυτής του δικτύου GIMPS, Τζορτζ Γουόλτμαν. «Ο κόσμος απολαμβάνει την πρόκληση της ανακάλυψης ενός πράγματος που δεν έχει γίνει γνωστό ποτέ στο παρελθόν», πρόσθεσε.

Ο αριθμός του Κούπερ αποτελεί επίσης τον 48ο αριθμό μίας σπάνιας υποκατηγορίας πρώτων αριθμών ονόματι Πρώτοι Μερσέν. Οι αριθμοί αυτοί, που πήραν την ονομασία τους προς τιμή του διάσημου Γάλλου μαθηματικού, μουσικού και καλόγερου του 17ου αιώνα Μαρέν Μερσέν, είναι οι πρώτοι αριθμοί που έχουν τη μορφή 2p– 1, όπου p πρώτος αριθμός.

Ο διαισθητικός τρόπος υπολογισμού των πρώτων αριθμών θα ήταν να διαιρούσαμε κάθε υποψήφιο αριθμό με κάθε έναν αριθμό μικρότερο από αυτόν, αλλά αυτή η διαδικασία θα διαρκούσε υπερβολικά μεγάλο χρονικό διάστημα.

Γι' αυτό το λόγο με την πάροδο του χρόνου και υποβοηθούμενοι από την πρόοδο στην υπολογιστική δύναμη των ηλεκτρονικών υπολογιστών, οι μαθηματικοί ανέπτυξαν διάφορους αλγορίθμους που μειώνουν δραματικά τον απαιτούμενο χρόνο υπολογισμού.

Αμέσως μετά την ανακάλυψη του Κούπερ ο αριθμός επαληθεύτηκε από αρκετούς ερευνητές σε άλλα υπολογιστικά κέντρα. Ο Κούπερ δικαιούται πλέον το βραβείο ερευνητικής ανακάλυψης του δικτύου GIMPS, το οποίο συνοδεύεται από χρηματικό έπαθλο αξίας 3.000 δολαρίων.

Edit: Για το φίλο Gregory, ο μεγαλύτερος γνωστός πρώτος αριθμός

Διαβάστε Περισσότερα »

Το θεώρημα της πίτσας!!!!!!

Το θεώρημα της πίτσας!!!!!!

Αν έχουν στραβοκόψει την πίτσα σας, πώς θα ξέρετε ποιος από τους συνδαιτυμόνες έχει φάει περισσότερο; Ένα τέτοιο πρόβλημα δεν απασχολεί μόνο τους πεινασμένους, αλλά και τους μαθηματικούς που διατύπωσαν -ύστερα από πολλές περιπέτειες- το περίφημο «θεώρημα της πίτσας».


Για τους περισσότερους το μεσημεριανό γεύμα με έναν συνάδελφο είναι μια χαλαρή υπόθεση όπου οι προβληματισμοί εξαντλούνται στο ποιο πιάτο θα διαλέξουν και αν θα πάρουν γλυκό. Για τον Ρικ Μέιμπρικαι τον Πολ Ντάιερμαν όμως το ζήτημα δεν ήταν ποτέ τόσο απλό. Τους είναι αδύνατον, για παράδειγμα, να δουν στο τραπέζι τους μια πίτσα χωρίς να προσπαθήσουν να βρουν τη λύση στο μαθηματικό πρόβλημα του πώς να τη μοιράσουν. «Τρώγαμε μαζί τουλάχιστον μία φορά την εβδομάδα» λέει ο κ. Μέιμπρι αναφερόμενος στις αρχές της δεκαετίας του 1990, όταν οι δύο μαθηματικοί εργάζονταν στο Πολιτειακό Πανεπιστήμιο της Λουιζιάνας. «Ο ένας από τους δυο μας έφερνε ένα τετράδιο και αρχίζαμε να κάνουμε σχεδιαγράμματα αφήνοντας το φαγητό μας να κρυώνει».  


Η σπαζοκεφαλιά

Το πρόβλημα που τους απασχολούσε ήταν το εξής: ας υποθέσουμε ότι στη βιασύνη του ο σερβιτόρος κόβει την πίτσα εκτός κέντρου, με όλες τις τομές να διασταυρώνονται σε ένα σημείο σχηματίζοντας ίσες γωνίες με τη γειτονική τους. Οι εκτός κέντρου τομές σημαίνουν ότι τα κομμάτια δεν θα έχουν το ίδιο μέγεθος. Επομένως δύο άτομα που παίρνουν εναλλάξ διαδοχικά κομμάτια, θα έχουν φάει ίσα μερίδια όταν τελειώσει η πίτσα και, αν όχι, ποιος θα έχει φάει περισσότερο; 

Φυσικά, θα μπορούσε κανείς να λύνει κάθε φορά το συγκεκριμένο πρόβλημα υπολογίζοντας την επιφάνεια κάθε κομματιού και προσθέτοντας τα κομμάτια του καθενός μεταξύ τους. Οι δύο ερευνητές είναι όμως μαθηματικοί και δεν αρκούνται σε τέτοιου είδους λύσεις: ήθελαν μια θεωρητική κατασκευή χωρίς ακριβείς υπολογισμούς, έναν κανόνα που θα ισχύει πάντοτε και θα μπορεί να εφαρμόζεται για κάθε στρογγυλή πίτσα. 

Όπως συμβαίνει με πολλές μαθηματικές σπαζοκεφαλιές, η απάντηση ήρθε σε στάδια, για διαφορετικές κάθε φορά πιθανές περιπτώσεις του προβλήματος. Η ευκολότερη προσφέρεται όταν τουλάχιστον μία τομή περνάει από το κέντρο της πίτσας. Ένα γρήγορο σχήμα μπορεί να δείξει ότι στην περίπτωση αυτή τα αντιδιαμετρικά κομμάτια είναι συμπληρωματικά μεταξύ τους οπότε μοιράζονται ίσα ανάμεσα στους δύο συνδαιτυμόνες, ανεξάρτητα από το πόσες είναι οι τομές. 


Η ευκολία των ζυγών

Τι γίνεται όμως όταν καμία τομή δεν περνάει από το κέντρο; Αν η πίτσα κόβεται μία φορά, η απάντηση είναι προφανής με το μάτι: όποιος τρώει το κέντρο τρώει περισσότερο. Αν γίνουν δύο τομές, που δίνουν τέσσερα κομμάτια, το αποτέλεσμα είναι το ίδιο: όποιος φάει το κομμάτι που περιλαμβάνει το κέντρο τρώει περισσότερη πίτσα. Οσο όμως οι τομές αυξάνονται, παρουσιάζονται διάφορες ανωμαλίες και η λύση τους οδήγησε, με τον χρόνο, στον σχηματισμό των τριών γενικών κανόνων που απαρτίζουν το θεώρημα της πίτσας. 

Ο πρώτος ορίζει ότι αν η πίτσα κοπεί σε ένα δεδομένο σημείο με ζυγό αριθμό τομών μεγαλύτερο του 2, θα μοιραστεί ίσα ανάμεσα στους δύο συνδαιτυμόνες που παίρνουν εναλλάξ διαδοχικά κομμάτια. Προτάθηκε για πρώτη φορά για 4 τομές (8 κομμάτια) από κάποιον Λ. Τζ. Άπτον το 1967 στο περιοδικό «Μathematics Μagazine», ενώ η λύση που όριζε ότι η πίτσα μοιράζεται ίσα για οποιονδήποτε αριθμό ζυγών τομών ήλθε έναν χρόνο αργότερα ως απάντηση στην «πρόκληση» του Άπτον. 


Ο σκόπελος των μονών 


Με τους μονούς αριθμούς τομών όμως τα πράγματα περιπλέκονται. 

Εδώ το θεώρημα της πίτσας λέει ότι αν κόψει κανείς την πίτσα με 3, 7, 11, 15... τομές χωρίς καμία τομή να περνάει από το κέντρο της, τότε αυτός που θα πάρει το κομμάτι που περιέχει το κέντρο της πίτσας θα φάει συνολικά περισσότερο. Αν όμως οι τομές είναι 5, 9, 13, 17... αυτός που θα πάρει το κομμάτι με το κέντρο καταλήγει να τρώει λιγότερο. 

Το θεώρημα ισχύει αν κάνει κανείς τους υπολογισμούς, είναι όμως εξαιρετικά δύσκολο να αποδειχθεί από τους μαθηματικούς. Τόσο δύσκολο ώστε οι κκ. Μέιμπρι και Ντάιερμαν μόλις τώρα κατόρθωσαν να ολοκληρώσουν μια απόδειξη η οποία καλύπτει όλες τις πιθανές περιπτώσεις. 

Η προσπάθειά τους ξεκίνησε το 1994, όταν ο κ. Ντάιερμαν έδειξε στον κ. Μέιμπρι μια διορθωμένη εκδοχή του θεωρήματος της πίτσας που επανεμφανίστηκε στο «Μathematics Μagazine» προκαλώντας τους αναγνώστες να αποδείξουν δύο συγκεκριμένες περιπτώσεις του προβλήματος, αυτή στην οποία η πίτσα κόβεται με 3 τομές και αυτή στην οποία κόβεται με 5. Η «άσχημη» λύση 
Ο κ. Ντάιερμαν έλυσε γρήγορα το πρόβλημα των 3 τομών, το οποίο οι συγγραφείς του άρθρου είχαν λύσει αλλά δεν αποκάλυπταν στο δημοσίευμα. Στη συνέχεια οι δύο συνεργάτες βρήκαν τη λύση για τις περιπτώσεις των 5 και των 7 τομών (οι οποίες έδιναν το ίδιο αποτέλεσμα με τις 3). Ενθουσιασμένοι με την επιτυχία τους, θεώρησαν ότι είχαν βρει την τεχνική που θα έλυνε πλήρως το πρόβλημα. Σε ένα μονό αριθμό τομών, τα αντιδιαμετρικά αντίθετα κομμάτια πηγαίνουν σε διαφορετικούς συνδαιτυμόνες, οπότε συγκρίνοντας κανείς τα μεγέθη τους μπορεί να βρει, για αυτά τα δύο, ποιος παίρνει περισσότερο και πόσο και στη συνέχεια να περάσει στο επόμενο αντιδιαμετρικά αντίθετο «ζευγάρι». 

Παρ΄ ότι ακούγεται απλό, στην πράξη αποδείχθηκε σχεδόν αδύνατον να βρεθεί μια λύση που να καλύπτει όλους τους πιθανούς μονούς αριθμούς τομών. Οι δύο μαθηματικοί χρησιμοποίησαν ένα γεωμετρικό τέχνασμα για να απλοποιήσουν τη διαδικασία, εισάγοντας ένα παραλληλεπίπεδο που σχηματίζεται από κάθε τομή και μια παράλληλή της γραμμή η οποία περνάει από το κέντρο της πίτσας. Και πάλι όμως η λύση δεν ήταν ικανοποιητική εφόσον απαιτούσε πολύπλοκους υπολογισμούς. Ήταν, όπως λένε, «άσχημη». 


Ο παράγων «καθαρός αέρας» 
  
Στα χρόνια που ακολούθησαν, ασχολήθηκαν κατά καιρούς και πάλι με το πρόβλημα, χωρίς όμως περαιτέρω επιτυχία. Η «φώτιση» ήρθε το 2006, όταν ο κ. Μέιμπρι βρισκόταν για διακοπές στη Γερμανία. «Ήμουν σε ένα ωραίο ξενοδοχείο, με ευχάριστο, δροσερό περιβάλλον και χωρίς κομπιούτερ» λέει. «Άρχισα να σκέφτομαι ξανά το πρόβλημα και τότε όλα άρχισαν να λειτουργούν». Ως τότε οι δύο μαθηματικοί χρησιμοποιούσαν μοντέλα στον ηλεκτρονικό υπολογιστή για τα αποτελέσματά τους. Μόλις όμως ο κ. Μέιμπρι άφησε την τεχνολογία στην άκρη, μπόρεσε να δει το πρόβλημα καθαρά. Επιστρέφοντας έβαλε ξανά τον υπολογιστή να δουλέψει για να βρει όλες τις πληροφορίες που χρειάζονταν για να προχωρήσει τις σκέψεις του και τελικά όλα μπήκαν στη θέση τους. Η απόδειξη του θεωρήματος της πίτσας βρέθηκε, λοιπόν, επιτέλους και έχει δημοσιευθεί στην επιθεώρηση Αmerican Μathematical Μonthly (Μάιος 2009). Ποιες πρακτικές εφαρμογές μπορεί να έχει; Προς το παρόν δεν διαφαίνεται καμία, αυτό όμως δεν ανησυχεί τον κ. Μέιμπρι. «Το παράξενο με εμάς τους μαθηματικούς» λέει «είναι ότι συχνά δεν μας ενδιαφέρει αν τα αποτελέσματα έχουν εφαρμογές γιατί τα ίδια τα αποτελέσματα είναι τόσο όμορφα». Πολλές φορές ωστόσο η χρησιμότητα των λύσεων τέτοιου είδους αφηρημένων μαθηματικών προβλημάτων εμφανίζεται με απρόσμενους τρόπους: ένα ξεχασμένο μαθηματικό παράδοξο του 19ου αιώνα για ένα μορφοκλασματικό είδος καμπύλης επανήλθε στο προσκήνιο ως μοντέλο για το σχήμα του ανθρώπινου γονιδιώματος.   

Πηγή: http://mathhmagic.blogspot.com

Διαβάστε Περισσότερα »

Αυτοκτόνησε ο Aaron Swartz

Σε περίπτωση που δεν το ακούσατε ακόμα, ο Aaron Swartz, πολεμιστής ενάντια στην φίμωση του διαδικτύου και ένας από τους συγγραφείς του RSS, αυτοκτόνησε λόγω των κατηγοριών σε βάρος του. Αυτό ενώ ήταν μόνο 26 χρονών.

Ο Aaron Swartz, προσπαθώντας να καταπολεμήσει την "κατάντια" του συστήματος δημοσιεύσεων από επιστήμονες, που δηλαδή έρευνες που γίνονται με δημόσια χρήματα, καταλήγουν σε ιδιωτικά χέρια και σε έλεγχο με σκοπό το χρήμα, χρησιμοποίησε το ασύρματο δίκτυο του MIT για να κατεβάσει papers από τον διάσημο οίκο JSTOR. Όταν το MIT του απαγόρευσε την πρόσβαση, ο Aaron παραβίασε το δίκτυο από μέσα, συνδέοντας το laptop του απευθείας με ένα τερματικό δικτύου στο MIT. 

Λόγω αυτού αλλά και της λήψης εκατοντάδων paper από το JSTOR, με σκοπό να τα ανεβάσει σε κάποια σελίδα όπου όλοι θα μπορούν να τα διαβάσουν, το JSTOR κατέθεσε  μήνυση (την οποία βέβαια απέσυρε αργότερα).  Παρά την νέα στάση του JSTOR, ένας δικαστής στην Μασαχουσέτη αποφάσισε να πιέσει για δίκη, ρίχνοντας στον κατηγορούμενο ποινή $1.000.000 και φυλάκιση μέχρι και 30 χρόνια. Πρόκειται για πολύ αυστηρή ποινή αν σκεφτεί κανείς ποίο ήταν το έγκλημα.

Ο Aaron, που υπέφερε έτσι και αλλιώς από κατάθλιψη, αυτοκτόνησε κάτω από το βάρος όλης αυτής της κατάστασης την Παρασκευή (11/01/13), λίγους μήνες πριν από την δίκη του. 

Για να τον τιμήσουν, πολλοί καθηγητές ανεβάζουν τα papers τους στο twitter, κάτω από το hashtag #pdftribute. 

Επιπλέον, για την ανάμειξη που είχε το MIT στην υπόθεση, οι ομάδα των Anonymous έκανε "επίθεση" στους server τους με αποτέλεσμα όλα τα site με την κατάληξη mit.edu να πέσουν για μια μέρα και στην θέση τους έβαλαν το παρακάτω μήνυμα. 

Κάντε κλικ πάνω στην εικόνα για να διαβάσετε ολόκληρο το μήνυμα των Anonymous.



mathcom.gr

Διαβάστε Περισσότερα »